Théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles qu'à partir d'un certain rang on ait $u_n\leqslant v_n$.

$1.$ Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty$. (théorème de minoration)

$2.$ Si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$. (théorème de majoration)

(voir démonstration 1 du fichier dédié)

Exemple
$v_n = [2 + (-1)^n] n^2$
$(-1)^n \geq -1$
$2 + (-1)^n \geq 1$
$[2 + (-1)^n] n^2 \geq n^2$
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$

Or $v_n \geq n^2$, donc d’après le théorème de minoration, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$

Théorème des gendarmes

On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ et un nombre réel $\ell$. On suppose qu'il existe un rang à partir duquel $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell$. Alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$.

(voir démonstration 2 du fichier dédié).

Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ par $u_n = 1+\dfrac{\sin(n)}{n}$.

Du fait que $-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1$ pour tout entier naturel on a donc $1-\dfrac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant 1+\dfrac{1}{n}$. Or $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} 1+\dfrac{1}{n}=1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$

D'après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1$.