Propriété :
1. Si une suite (un) croissante converge vers un réel ℓ alors pour tout entier naturel n on a un⩽ℓ.
2. Si une suite (un) décroissante converge vers un réel ℓ alors pour tout entier naturel n on a un⩾ℓ.
(voir démonstration 3 du fichier dédié).
Théorème de convergence monotone :
∘ Toute suite croissante et majorée converge.
∘ Toute suite décroissante et minorée converge.
Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.
Théorème :
∘ Toute suite croissante et non majorée diverge.
∘ Toute suite décroissante et non minorée diverge.
Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel n par un=2+1n+1. On a un+1−un=2+1n+2−(2+1n+1)=1n+2−1n+1<0 puisque n+2>n+1.
La suite (un) est donc décroissante. Il est clair que, pour tout entier naturel n on a un>2. La suite est donc décroissante et minorée : elle converge.
Remarque : Le minorant trouvé n'est pas nécessairement la limite de la suite.
Théorème :
∘ Toute suite croissante et non majorée diverge.
∘Toute suite décroissante et non minorée diverge.