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Limites d'une suite monotone

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Propriété :

1. Si une suite (un) croissante converge vers un réel alors pour tout entier naturel n on a un.

2. Si une suite (un) décroissante converge vers un réel alors pour tout entier naturel n on a un.

(voir démonstration 3 du fichier dédié).

Théorème de convergence monotone :

Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.

Théorème :

Toute suite croissante et non majorée diverge.

Toute suite décroissante et non minorée diverge.

Exemple : On considère la suite définie pour tout entier naturel n par un=2+1n+1. On a un+1un=2+1n+2(2+1n+1)=1n+21n+1<0 puisque n+2>n+1.

La suite (un) est donc décroissante. Il est clair que, pour tout entier naturel n on a un>2. La suite est donc décroissante et minorée : elle converge.

Remarque : Le minorant trouvé n'est pas nécessairement la limite de la suite.

Théorème :

Toute suite croissante et non majorée diverge.

Toute suite décroissante et non minorée diverge.

(voir démonstration 4 du fichier dédié).