Lever une forme indéterminée

Exemple 1 :

$\circ\quad$ Soit à déterminer si $n^2 + \sqrt{n}$ admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$.
Donc, par somme, on a :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( n^2 + \sqrt{n} \right) = +\infty$.

Exemple 2 :

$\circ\quad$ Soit à déterminer si$n^3 - 3n^2 + 5$ admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (-3n^2 + 5) = -\infty$.
Donc, par somme, on a la forme indéterminée du type $+\infty - \infty$.

On met donc le terme de plus haut degré en facteur :
$n^3 - 3n^2 + 5 = n^3 \left( 1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{5}{n^3} \right)$

Or : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^3=+\infty$ ; $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac 3n=0$ ;$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{5}{n^3}=0$ donc, par somme et par produit :

$\displaystyle\lim_{n\to +\infty}n^3 - 3n^2 + 5=+\infty$

Exemple 3 :

$\circ\quad$ Soit à déterminer si $\dfrac{4n + 5}{n^2 + 6}$ admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
$\dfrac{4n + 5}{n^2 + 6} = \dfrac{n(4 + \frac{5}{n})}{n^2(1 + \frac{6}{n^2})} = \dfrac{4 + \frac{5}{n}}{n(1 + \frac{6}{n^2})}$

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (4 + \dfrac{5}{n}) = 4$ par somme.
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{6}{n^2}) = 1$
et par produit : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n\left(1 + \frac{6}{n^2}\right) = +\infty$

Donc par quotient :

$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{4n + 5}{n^2 + 6} = 0$