Formes indéterminées
Les quatre formes indéterminées sont : +∞−∞, 0×∞, ∞∞, et 00.
Dans ces cas, les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d’une fonction.
Exemple 1 :
∘ Soit à déterminer si n2+√n admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
limn→+∞√n=+∞ et limn→+∞n2=+∞.
Donc, par somme, on a :
limn→+∞(n2+√n)=+∞.
Exemple 2 :
∘ Soit à déterminer sin3−3n2+5 admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
limn→+∞n3=+∞ et limn→+∞(−3n2+5)=−∞.
Donc, par somme, on a la forme indéterminée du type +∞−∞.
On met donc le terme de plus haut degré en facteur :
n3−3n2+5=n3(1−3n+5n3)
Or : limn→+∞n3=+∞ ; limn→+∞3n=0 ;limn→+∞5n3=0 donc, par somme et par produit :
limn→+∞n3−3n2+5=+∞
Exemple 3 :
∘ Soit à déterminer si 4n+5n2+6 admet une limite et si oui, quelle est-elle ?
4n+5n2+6=n(4+5n)n2(1+6n2)=4+5nn(1+6n2)
limn→+∞(4+5n)=4 par somme.
limn→+∞(1+6n2)=1
et par produit : limn→+∞n(1+6n2)=+∞
Donc par quotient :
limn→+∞4n+5n2+6=0