Résoudre une équation du second degré

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Dans cette section, nous allons t'expliquer ce qu'est une équation du second degré et comment la reconnaître. Nous allons également te montrer les différents termes qui la composent, comme le coefficient de x², le coefficient de x et le terme constant.

Définition d’une équation du second degré

Une équation du second degré - ou équation quadratique -, c’est une équation qui prend la forme suivante : ax² + bx + c = 0. Pour résoudre une équation du 2ème degré, il est impératif de connaître les différentes formules.

Dans le cas où les solutions recherchées correspondent à des nombres réels, il en existe entre zéro et deux (potentiellement confondues). Le calcul du discriminant offre une méthode synthétique de résolution et nous indique le nombre précis de solutions (aucune solution réelle, une solution unique ou deux solutions distinctes).

Si les solutions recherchées correspondent à des nombres complexes, alors il existe toujours deux solutions, qui peuvent toutefois être confondues.

Les termes qui composent une équation du second degré

Les lettres a, b et c représentent des nombres et a est non nul, c’est-à-dire différent de 0. La lettre x désigne la variable (l'inconnue). a est le coefficient de x² (c’est à dire le chiffre devant x²), le b est le coefficient de x et c est le chiffre tout seul.

Découvre également nos fiches de cours de 1ère générale sur les équations et fonctions polynômes du 2nd degré et de terminale sur les équations du 2nd degré dans ℂ à coefficients réels.

Comment résoudre une équation du second degré ?

Dans cette section, nous allons t'expliquer comment résoudre une équation du second degré en utilisant la formule appropriée. Nous allons également te donner des exemples pratiques pour que tu puisses comprendre comment appliquer la formule.

Formule pour résoudre une équation du second degré

Nous allons te montrer comment utiliser la formule appropriée pour résoudre une équation du second degré. Nous allons également te donner des exemples pratiques pour que tu puisses comprendre comment appliquer la formule.

Pour la résolution d’une équation du second degré, il existe trois méthodes. Selon les besoins et l’équation, il faudra privilégier l’une ou l’autre de ces formules :

1. Utiliser le discriminant (la formule quadratique)

Cette formule fonctionne pour toutes les équations, mais d’autres formules peuvent parfois être plus rapides.

Tout d’abord il faut calculer le discriminant. Le discriminant de l'équation correspond à la valeur Δ. la formule pour le calculer est : Δ = b² - 4ac

Si Δ < 0 il n’y a pas de solutions réelles

Si Δ = 0 il y a une solution, appelée racine double et notée x0

Si Δ > 0 il y a deux solutions, appelées racines et notées x1et x2

Les formules pour les calculer sont les suivante :

x1 = (-b + √Δ) / 2a et x2 = (-b - √Δ) / 2a

x0 = (-b + √0) / 2 = -b / 2a

2. Factoriser l'équation

Il s’agit de la méthode la plus rapide des trois, mais il faut que c = 0.

Il faut tout d’abord factoriser par x : ax²+bx = x(ax+b)

On alors une équation produit qui se résout facilement. A x B = 0. L’égalité est vérifiée si A = 0 ou B = 0.

3. Mettre l'équation sous sa forme canonique

Cette méthode est généralement la plus chronophage des trois, mais elle permet d’obtenir plusieurs informations en plus, comme les coordonnées du sommet.

Après avoir mis une équation du second degré sous sa forme canonique, il faut suivre plusieurs étapes pour la résoudre :

• Mettre la constante de l'autre côté de l'équation.
• Diviser l'équation par le coefficient de l'expression au carré.
• Trouver les racines carrées de chaque côté.
• Résoudre les équations du premier degré qui en ressortent.

Exemples pratiques de résolution d'équations du second degré

Dans cette section, nous allons te donner des exemples pratiques de résolution d'équations du second degré. Nous allons te montrer comment appliquer la formule pour résoudre différentes équations du second degré.

Exemple 1

Résoudre l'équation x² = 3x :

Dans un premier temps, il faut mettre tous les termes d'un côté :

x² - 3x = 0.

Il est facilement possible de factoriser cette équation :

x(x - 3) = 0

x = 0 ou x-3 = 0 donc x = 3

Exemple 2

Résoudre l'équation x² + 4x + 3 = 0.

Calculons le discriminant :

Δ = b² - 4ac = 4² - 4 x 1 x 3 =4

Δ > 0 donc il existe deux solutions réelles

x1 = (-b + √Δ) / 2a = (-4 + √4) / 2 x 1 = (-4 + 2) / 2 = -1

x2 = (-b - √Δ) / 2a = (-4 - √4) / 2 x 1 = (-4 - 2) / 2 = -3