Opérations sur les limites de fonctions

I. Opérations sur les limites

On a vu dans les parties précédentes la définition des limites en un point ou en plus ou moins l'infini d'une fonction. Cependant, dans la pratique, les fonctions dont il faudra calculer la limite seront souvent écrites sous la forme d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de fonctions.

On va donc fournir des résultats concernant ces opérations.

On va considérer deux fonctions $f$ et $g$, deux réels $L$ et $L'$ ainsi qu'un réel $a$ qui éventuellement pourra être remplacé par $+ \infty$ ou $- \infty$.

Dans certains cas, il est impossible de prédire le résultat de l'opération. On dit qu'on obtient une forme indéterminée (FI). Il faut alors étudier au cas par cas ces limites en cherchant à transformer l'écriture de la fonction.

Remarque : On peut écrire $0^+$ pour indiquer que les valeurs sont aussi proches de 0 que

l’on veut en restant positives (idem avec $0^-$).



Exemple :
$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty\end{matrix}\right.\implies \lim\limits_{x \to +\infty} (x^2 + x) = +\infty$

Pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.

Exemple :
$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to 0^+} (-2 + x) = -2 \\\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty\end{matrix}\right.\implies \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} \times (-2 + x) = -\infty$

Ici aussi, pour déterminer le signe des infinis dans ce tableau, on applique la règle des signes.

Exemple :
$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to 1^+} (x + 2) = 3 \\\lim\limits_{x \to 1^+} (1 - x) = 0^-\end{matrix}\right.\implies \lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{x + 2}{1 - x} = -\infty$

Remarque :
Si le dénominateur d'une fonction tend vers $0$, il faut préciser si cette limite conserve des valeurs négatives (on écrit $0^-$) ou positives (on écrit $0^+$).
Il est utile d'utiliser un tableau de signes pour ne pas se tromper. Dans le cas de l'exemple, on a :