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Formes indéterminées
Les quatre formes indéterminées sont : +, 0×, , et 00.
Dans ces cas, les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d’une fonction.

Propriété : En + et en , une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

Démonstration :
Soit P une fonction polynôme pour tout réel x définie par :
P(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0, où an0 et n1.

Pour tout x0, on a :
P(x)=xn(an+an11x++a11xn1+a01xn)

On sait que, pour tout entier naturel n non nul :
limx+1xn=0

Donc :
limx+(an+an11x++a11xn1+a01xn)=an

Ainsi, par produit, P a la même limite en + que xanxn.
On procède de la même manière pour la limite en .


Propriété :
Soient P une fonction polynôme dont apxp est le terme de plus haut degré, et Q une fonction polynôme dont le terme de plus haut degré est aqxq, où p et q sont des entiers naturels.

Alors :
limx+P(x)Q(x)=limx+apaqxpq
et
limxP(x)Q(x)=limxapaqxpq

Remarque : Les deux propriétés précédentes ne sont valables qu’en + et .

Exemples :

  1. limx+3x42x3+12x1=limx+3x42x=limx+32x3=+

  2. limx2x42x+1x1=limx2x4x=limx2x3=

  3. Cas d’une fonction irrationnelle :
    limx+xx+1=limx+xx(1+1x)=1