Formes indéterminées
Les quatre formes indéterminées sont : +∞−∞, 0×∞, ∞∞, et 00.
Dans ces cas, les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d’une fonction.
Propriété : En +∞ et en −∞, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
Démonstration :
Soit P une fonction polynôme pour tout réel x définie par :
P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0, où an≠0 et n≥1.
Pour tout x≠0, on a :
P(x)=xn(an+an−1⋅1x+⋯+a1⋅1xn−1+a0⋅1xn)
On sait que, pour tout entier naturel n non nul :
limx→+∞1xn=0
Donc :
limx→+∞(an+an−1⋅1x+⋯+a1⋅1xn−1+a0⋅1xn)=an
Ainsi, par produit, P a la même limite en +∞ que x↦anxn.
On procède de la même manière pour la limite en −∞.
Propriété :
Soient P une fonction polynôme dont apxp est le terme de plus haut degré, et Q une fonction polynôme dont le terme de plus haut degré est aqxq, où p et q sont des entiers naturels.
Alors :
limx→+∞P(x)Q(x)=limx→+∞apaqxp−q
et
limx→−∞P(x)Q(x)=limx→−∞apaqxp−q
Remarque : Les deux propriétés précédentes ne sont valables qu’en +∞ et −∞.
Exemples :
limx→+∞3x4−2x3+12x−1=limx→+∞3x42x=limx→+∞32x3=+∞
limx→−∞2x4−2x+1x−1=limx→−∞2x4x=limx→−∞2x3=−∞
Cas d’une fonction irrationnelle :
limx→+∞x√x+1=limx→+∞√x√x(1+1√x)=1