Lever une forme indéterminée

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I. Formes indéterminées

Les quatre formes indéterminées sont : $+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, et $\dfrac{0}{0}$.
Dans ces cas, les théorèmes d’opérations ne permettent pas de déterminer la limite éventuelle d’une fonction.

Propriété :

En $+\infty$ et en $-\infty$, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

Démonstration :
Soit $P$ une fonction polynôme pour tout réel $x$ définie par :
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, où $a_n \neq 0$ et $n \geq 1$.

Pour tout $x \neq 0$, on a :

$\begin{aligned}P(x) &= x^n \bigg( a_n + a_{n-1} \cdot \frac{1}{x} + \dots \\ &\phantom{=x^n\bigg(}\; + a_1 \cdot \frac{1}{x^{\,n-1}} + a_0 \cdot \frac{1}{x^n} \bigg) \end{aligned}$

On sait que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$

Donc :
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( a_n + a_{n-1} \cdot \frac{1}{x} + \dots + a_1 \cdot \frac{1}{x^{\,n-1}} + a_0 \cdot \frac{1}{x^n} \right )$

$= a_n$

Ainsi, par produit, $P$ a la même limite en $+\infty$ que $x \mapsto a_n x^n$.
On procède de la même manière pour la limite en $-\infty$.

Propriété :
Soient $P$ une fonction polynôme dont $a_p x^p$ est le terme de plus haut degré, et $Q$ une fonction polynôme dont le terme de plus haut degré est $a_q x^q$, où $p$ et $q$ sont des entiers naturels.

Alors : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{a_p}{a_q} x^{p-q}$
et
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{a_p}{a_q} x^{p-q}$

Remarque : Les deux propriétés précédentes ne sont valables qu’en $+\infty$ et $-\infty$.

II. Exemples

$1.\;\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^4 - 2x^3 + 1}{2x - 1} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^4}{2x}$

$\phantom{1.\; \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^4 - 2x^3 + 1}{2x - 1} }= \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{2}x^3$

$\phantom{1.\; \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^4 - 2x^3 + 1}{2x - 1} }= +\infty$

$2. \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^4 - 2x + 1}{x - 1} = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^4}{x}$

$\phantom{2. \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^4 - 2x + 1}{x - 1} }= \displaystyle\lim_{x \to -\infty} 2x^3$

$\phantom{2. \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^4 - 2x + 1}{x - 1} }= -\infty$

$3.$ Cas d’une fonction irrationnelle :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cancel{\sqrt{x}}}{\cancel{\sqrt{x}} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)} = 1$