Interprétation graphique des limites de fonctions : les asymptotes

Définition : On dit que $f(x)$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell$.

On dit alors que la droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction $f$ est comprise dans une bande donnée contenant $\ell$ à partir d'une certaine valeur de $x$.

Définition : Si une fonction $f$ est définie sur un intervalle $]a-h;a[$ ou $]a;a+h[$,

on dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A;+\infty[$ (avec $A$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

On note alors $\lim\limits_{x \to a} f(x)=+\infty$.

On dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty;B[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

On note alors $\lim\limits_{x \to a} f(x)=-\infty$.

Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.

Remarque : Puisque la fonction $f$ peut avoir une limite différente à gauche et à droite de $a$ on a va écrire :

$\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x\gt a}}f(x)$ ou $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$ pour parler de la limite à droite

$\lim\limits_{\substack{x \to a\\ x\lt a}}f(x)$ ou $\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$ pour parler de la limite à gauche

Exemple : On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.

On a alors $\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x\gt 2}}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x\lt 2}}f(x)=-\infty$.

La droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe représentant $f$.

Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...

Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.