Loi binomiale

La loi du nombre de succès

I. Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul et $p \in [0 ; 1]$.

On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus lors de $n$ répétitions identiques et indépendantes d’un schéma de Bernoulli dont $p$ est la probabilité du succès.

On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Notation :
La loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ se note $X \sim \mathcal{B}(n ; p)$.

II. Propriété

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n ; p)$. Pour tout $k \in {0 ; \dots ; n}$, on a :
${\boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}}}$.

L’ensemble des valeurs prises par $X$ est : $X(\Omega) = \{0 ; \dots ; n\}$.

Démonstration :

Dans un schéma de Bernoulli, chaque chemin permettant d’obtenir $k$ succès implique aussi d’obtenir $n - k$ échecs.

Chacun de ces chemins a pour probabilité : $p^k (1 - p)^{n - k}$.

Le nombre total de chemins menant à $k$ succès est donné par le nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$, soit : $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

On en déduit que : $P(X = k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^k (1 - p)^{n - k}$.

Illustration avec $n = 3$ :

En rouge, les chemins menant à $k = 2$ succès.

Le nombre de chemins permettant d’obtenir deux succès est donné par : $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = 3$.

Donc : $P(X = 2) = 3 \times p^2 \times (1 - p)$.

III. Exemple

On lance un dé 10 fois de suite et on s’intéresse au nombre $X$ de fois où l’on obtient la face n°3.

On répète la même expérience dans les mêmes conditions 10 fois de suite.

Les expériences sont indépendantes.

À chaque tirage, on note si on obtient un 3 ou non.

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli avec deux issues possibles :

• Succès : j’obtiens un 3 (probabilité $p = \dfrac{1}{6}$).

• Échec : je n’obtiens pas un 3 (probabilité $1 - p = \dfrac{5}{6}$).

La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{1}{6}$.

On note alors : $X \sim \mathcal{B}(10 ; \dfrac{1}{6})$.

Les probabilités associées sont données par la formule :
$P(X = k) = \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} \left(\dfrac{1}{6}\right)^k \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10 - k}$.

Calcul de quelques probabilités :

• Probabilité d’obtenir $X = 0$ succès (aucun 3 en 10 lancers) :
  $P(X = 0) = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10}$.
  $P(X = 0) = 1 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10}$.

• Probabilité d’obtenir $X = 5$ succès (exactement 5 fois un 3 en 10 lancers) :
  $P(X = 5) = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} \left(\dfrac{1}{6}\right)^5 \left(\dfrac{5}{6}\right)^5$.
  $P(X = 5) = 252 \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^5 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^5$.

• Probabilité d’obtenir $X = 10$ succès (dix fois un 3 en 10 lancers) :
  $P(X = 10) = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \end{pmatrix} \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10} \left(\dfrac{5}{6}\right)^0$.
  $P(X = 10) = 1 \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{10}$.

Interprétation :
Le nombre de chemins possibles dans l’arbre de probabilité correspond aux combinaisons permettant d’obtenir un certain nombre de succès.

Le facteur $\begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix}$ représente le nombre de façons différentes d’obtenir $k$ succès en 10 essais.