Schéma de Bernoulli

I. Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul. Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

II. Exemples

$1.$ Dans un sac de toile qui contient $10$ jetons blancs et 15 jetons bleus indiscernables au toucher, on pioche un jeton.
On note sa couleur, puis on remet le jeton dans le sac.
On répète 3 fois l'expérience, et on s'intéresse aux jetons blancs obtenus.

$\circ\quad$ les 3 tirages se font avec remise : les tirages sont donc identiques et indépendants.

$\circ\quad$ pour chaque tirage, on a une épreuve de Bernoulli, car deux issues possibles : succès S "le jeton est blanc", de probabilité p = 10/25 = 2/5 ;
ou échec $\bar{S}$ " le jeton est bleu", de probabilité q = 3/5

$\circ\quad$ on a bien un schéma de Bernoulli, de paramètres n=3 (nombre d'épreuves successives) et p = 2/5

Voici un arbre pondéré à 3 niveaux, qui traduit cet exemple de schéma de Bernoulli :

$2.$ On considère une urne opaque contenant une boule verte et deux boules bleues indiscernables au toucher.

On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l’urne. On répète cette expérience dix fois et on s’intéresse au nombre de boules bleues obtenues.

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli, où le succès $S$ correspond à « La boule est bleue », dont la probabilité est $P(S) = \dfrac{2}{3}$.

Comme les dix tirages se font avec remise, ils sont identiques et indépendants.

On a donc bien un schéma de Bernoulli.