Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit $X$ une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

I. Propriété

Soient $n$ un entier naturel strictement positif et $p \in [0 ;1]$. Soit $X \sim \mathcal{B}(n ; p)$.

$\circ\quad$ Espérance : $E[X] = np$.

$\circ\quad$ Variance : $V[X] = np(1 - p)$.

$\circ\quad$Écart-type : $\sigma[X] = \sqrt{np(1 - p)}$.

II. Forme du diagramme en barre associé

Propriété :
Pour $X$ variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n ; p)$, le diagramme en barres associé à $X$ est en forme de cloche, approximativement centré sur son espérance $E[X]$.

Voici le diagramme en barres de la loi binomiale $\mathcal{B}(20, 0.5)$. On observe bien la forme en cloche, avec une concentration des valeurs autour de l'espérance $E[X] = np = 10$.

III. Exercice type

Exercice type

On étudie le lancer d’un dé équilibré à six faces. L’expérimentateur lance le dé, note le chiffre obtenu, puis répète l’expérience 20 fois.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de fois où l’on obtient la face 4 lors de ces 20 lancers.

$1.$ Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Donner les paramètres de cette loi.

L’expérience consiste à répéter de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli où :

$\circ\quad$ Le succès correspond à obtenir un 4.

$\circ\quad$La probabilité de succès est $p = \dfrac{1}{6}$.

La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit donc une loi binomiale de paramètres :

$\circ\quad$$n = 20$ (nombre d’essais).

$\circ\quad$$p = \dfrac{1}{6}$ (probabilité de succès).

Ainsi, $X \sim \mathcal{B}(20 ; \frac{1}{6})$.

$2.$ Calculer la probabilité d’obtenir exactement 12 fois le nombre 4 lors de ces lancers.

On cherche $P(X = 12)$ avec $X \sim \mathcal{B}(20 ; \frac{1}{6})$.

La probabilité d’obtenir exactement 12 fois la face 4 est :
$P(X = 12) \approx 1.34 \times 10^{-5}$.

Cette probabilité est très faible, ce qui signifie qu’obtenir 12 fois un 4 sur 20 lancers est un événement très rare.

$3.$ Calculer la probabilité d’obtenir au moins 2 fois le nombre 4 lors de ces lancers.

On cherche $P(X \geq 2)$.

La probabilité d’obtenir au moins 2 fois la face 4 est : $P(X \geq 2) \approx 0.87$.

Cela signifie qu’il est très probable d’obtenir au moins 2 fois la face 4 en 20 lancers.