Tout comme pour les suites, il existe deux théorèmes de comparaisons pour les fonctions. Ils permettent de déterminer la limite d'une fonction à partir d'un encadrement ou d'une majoration/minoration.
Théorème de comparaison :
On considère f et g deux fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+∞[ sur lequel f(x)⩾g(x).
Si limx→+∞g(x)=+∞ alors limx→+∞f(x)=+∞. (théorème de minoration)
Si limx→+∞f(x)=−∞ alors limx→+∞g(x)=−∞. (théorème de majoration)
Cette propriété est également vraie en −∞ ainsi que pour toute limite en un point.
Remarque :
Une fonction impose donc à l'autre sa limite infinie.
Théorème des gendarmes :
On considère f, g et h trois fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+∞[ sur lequel g(x)⩽f(x)⩽h(x).
S'il existe un réel ℓ tel que limx→+∞g(x)=limx→+∞h(x)=ℓ, alors limx→+∞f(x)=ℓ.
Exemple :
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=cos(x)x.
Or pour tout réel x, −1⩽cos(x)⩽1.
Donc sur Df, −1x⩽f(x)⩽1x.
Or on a limx→+∞1x=0 et limx→+∞−1x=0.
D'après le théorème des gendarmes, on obtient : limx→+∞f(x)=0.
Remarque :
Ici encore, ce théorème n'est pas valable qu'en +∞: son résultat peut être étendu à −∞ et tous les réels.