Limites et théorèmes de comparaison

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Tout comme pour les suites, il existe deux théorèmes de comparaisons pour les fonctions. Ils permettent de déterminer la limite d'une fonction à partir d'un encadrement ou d'une majoration/minoration.

Théorème de comparaison :
On considère ff et gg deux fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+[[A;+\infty[ sur lequel f(x)g(x)f(x)\geqslant g(x).

  • Si limx+g(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty alors limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty. (théorème de minoration)

  • Si limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty alors limx+g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=-\infty. (théorème de majoration)

Cette propriété est également vraie en -\infty ainsi que pour toute limite en un point.

Remarque :
Une fonction impose donc à l'autre sa limite infinie.

Théorème des gendarmes :
On considère ff, gg et hh trois fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+[[A;+\infty[ sur lequel g(x)f(x)h(x)g(x) \leqslant f(x)\leqslant h(x).
S'il existe un réel \ell tel que limx+g(x)=limx+h(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}h(x)=\ell, alors limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell.

Exemple :
On considère la fonction ff définie sur ]0;+[]0;+\infty[ par f(x)=cos(x)xf(x)=\dfrac{\cos(x)}{x}.

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Or pour tout réel xx, 1cos(x)1-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1.
Donc sur DfD_f, 1xf(x)1x-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}.
Or on a limx+1x=0\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x}=0 et limx+1x=0\lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{1}{x}=0.

D'après le théorème des gendarmes, on obtient : limx+f(x)=0\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=0.

Remarque :
Ici encore, ce théorème n'est pas valable qu'en ++\infty: son résultat peut être étendu à -\infty et tous les réels.