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Limites et théorèmes de comparaison

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Tout comme pour les suites, il existe deux théorèmes de comparaisons pour les fonctions. Ils permettent de déterminer la limite d'une fonction à partir d'un encadrement ou d'une majoration/minoration.

Théorème de comparaison :
On considère f et g deux fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+[ sur lequel f(x)g(x).

  • Si limx+g(x)=+ alors limx+f(x)=+. (théorème de minoration)

  • Si limx+f(x)= alors limx+g(x)=. (théorème de majoration)

Cette propriété est également vraie en ainsi que pour toute limite en un point.

Remarque :
Une fonction impose donc à l'autre sa limite infinie.

Théorème des gendarmes :
On considère f, g et h trois fonctions telles qu'il existe un intervalle de la forme [A;+[ sur lequel g(x)f(x)h(x).
S'il existe un réel tel que limx+g(x)=limx+h(x)=, alors limx+f(x)=.

Exemple :
On considère la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=cos(x)x.

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Or pour tout réel x, 1cos(x)1.
Donc sur Df, 1xf(x)1x.
Or on a limx+1x=0 et limx+1x=0.

D'après le théorème des gendarmes, on obtient : limx+f(x)=0.

Remarque :
Ici encore, ce théorème n'est pas valable qu'en +: son résultat peut être étendu à et tous les réels.