Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.
Soient u et v deux fonctions définies sur deux ensembles I et J tels que l’image de I par u est contenue dans J : u(I)⊂J.
La fonction obtenue en appliquant respectivement et successivement u puis v s’appelle la composée de u par v et est notée v∘u (lire "v rond u") ou parfois v(u(x)).
Pour tout réel x∈I, v∘u(x)=v(u(x)).
limx→−∞(x2+x+1)=+∞
limx→+∞√x=+∞
Donc :
limx→+∞h(x)=v(u(x))=+∞
Exemple :
Soit f(x)=(−2x+1)2.
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions :
x↦−2x+1↦(−2x+1)2
Avec :
u(x)=−2x+1 et v(x)=x2
f(x)=v∘u(x)=(−2x+1)2
Propriété :
Soient a, b et λ désignant des réels ou +∞ ou −∞.
Si : limx→au(x)=b et limx→bv(x)=λ
Alors : limx→av∘u(x)=λ
Exemple :
Soit h(x)=√x2+x+1=u∘v(x)
Avec :
u(x)=√x et v(x)=x2+x+1
limx→−∞(x2+x+1)=+∞
limx→+∞√x=+∞
Donc on a :
limx→−∞h(x)=+∞
Remarque 1 :
Attention à l'ordre dans lequel on écrit les fonctions. Dans la définition, f est utilisée en premier et c'est la fonction située le plus à droite dans l'écriture h=g∘f.Voyons un autre exemple :
On considère la fonction h définie sur R par h(x)=(x+1x2+1)4.
Si on appelle f la fonction définie sur R par f(x)=x+1x2+1 et g la fonction définie sur R par g(x)=x4, alors h(x)=g∘f(x).
Remarque 2 :
Attention, la limite trouvée pour la fonction f est utilisée comme valeur en laquelle on calcule la limite de la fonction g.
Exemple :
On veut calculer limx→+∞√1x+2.{limx→+∞(1x+2)=2limx→2√x=√2 ⟹ limx→+∞√1x+2=√2