Limite d'une fonction composée

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Pour décrire une fonction, on peut parfois la décomposer en enchaînements de fonctions plus simples.
Soient u et v deux fonctions définies sur deux ensembles I et J tels que l’image de I par u est contenue dans J : u(I)J.

La fonction obtenue en appliquant respectivement et successivement u puis v s’appelle la composée de u par v et est notée vu (lire "v rond u") ou parfois v(u(x)).

Pour tout réel xI, vu(x)=v(u(x)).

limx(x2+x+1)=+
limx+x=+

Donc :
limx+h(x)=v(u(x))=+

Exemple :
Soit f(x)=(2x+1)2.
On peut décomposer f en enchaînement de fonctions :
x2x+1(2x+1)2

Avec :
u(x)=2x+1 et v(x)=x2
f(x)=vu(x)=(2x+1)2

Propriété :
Soient a, b et λ désignant des réels ou + ou .
Si : limxau(x)=b et limxbv(x)=λ

Alors : limxavu(x)=λ

Exemple :
Soit h(x)=x2+x+1=uv(x)

Avec :
u(x)=x et v(x)=x2+x+1

limx(x2+x+1)=+
limx+x=+

Donc on a :
limxh(x)=+

Remarque 1 :
Attention à l'ordre dans lequel on écrit les fonctions. Dans la définition, f est utilisée en premier et c'est la fonction située le plus à droite dans l'écriture h=gf.Voyons un autre exemple :
On considère la fonction h définie sur R par h(x)=(x+1x2+1)4.
Si on appelle f la fonction définie sur R par f(x)=x+1x2+1 et g la fonction définie sur R par g(x)=x4, alors h(x)=gf(x).

Remarque 2 :
Attention, la limite trouvée pour la fonction f est utilisée comme valeur en laquelle on calcule la limite de la fonction g.

Exemple :
On veut calculer limx+1x+2.{limx+(1x+2)=2limx2x=2    limx+1x+2=2