Limite de q^n

Limite de $q^n$

Théorème :
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ si $q \gt 1$
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ si $-1 \lt q \lt 1$
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n$ n’a pas de limite si $q \leqslant -1$

Démonstration :
Si $q \gt 1$, il existe un réel $a$ strictement positif tel que $q = 1 + a$, et donc on a :
$q^n = (1 + a)^n$.

On a démontré (Inégalité de Bernoulli) que $(1 + a)^n \geq 1 + na$.
Donc $q^n \geq 1 + na$.

$a \gt 0 \implies \displaystyle\lim_{n \to +\infty} (1 + na) = +\infty$

D’après le théorème de minoration, on a : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$