Limites, comparaison et encadrement

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La limite éventuelle d’une suite donne une idée de son comportement asymptotique. Il est souvent pratique de trouver cette limite en la comparant avec celles de suites au comportement bien connu.

I. Définitions

1) Limite infinie

Une suite de terme général un admet pour limite +∞+\infty si elle dépasse toute valeur pour n suffisamment grand. On note lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty.

Une suite de terme général un admet pour limite −∞-\infty  si la suite de terme général −un admet pour limite +∞+\infty. On note lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty.

2) Limite finie

Une suite de terme général un admet pour limite un réel ℓ si elle est aussi proche de ℓ que l’on veut pour n suffisamment grand. On note On note lim⁡n→+∞un=ℓ\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ell.

II. Limites et inégalités

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel, soient ℓ et ℓ′ des réels, et soient (un) et (rn) des suites réelles telles que pour tout entier n ∈ ℕ, un≥rnu_n\ge r_n :

 si lim⁡n→+∞un=ℓ\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ell et lim⁡n→+∞rn=ℓ′\lim\limits_{n\to +\infty}r_n=\ell ' alors  ℓ ⩾ ℓ′.

 si lim⁡n→+∞rn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty}r_n=+\infty alors lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty.

Théorème d’encadrement (dit « des gendarmes »)

Soit ℓ un réel, soit N∈ℕ, soient (rn) et (sn) des suites réelles de même limite ℓ. Si pour tout entier n≥N  ,  sn≤un≤rnn\ge N\;,\;s_n\le u_n\le r_n, alors lim⁡n→+∞un=ℓ\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\ell.

III. Limites et opérations

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Méthodes

1) Déterminer la limite d’une suite par comparaison

Déterminer la limite de la suite de terme général un=n+(−1)nu_n=n+(-1)^n.

Conseil

Encadrez (−1)n.

2) Déterminer la limite d’une suite par encadrement

Déterminer la limite de la suite de terme général un=(−1)n−nnu_n=\dfrac{(-1)^n-n}{n}.

Conseil

Encadrez le numérateur de un.

D’où −1−nn≤(−1)n−nn≤1−nn\dfrac{-1-n}{n}\le \dfrac{(-1)^n-n}{n}\le \dfrac{1-n}{n} puis :  −1n−1≤un≤1n−1-\dfrac 1 n -1\le u_n\le \dfrac 1n-1.

Or, lim⁡n→+∞(−1n−1)=lim⁡n→+∞(1n−1)=−1\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac 1n-1\right) = \lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac 1n-1\right)=-1 donc, d’après le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞un=−1\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=-1.

3) Déterminer la limite d’une suite à l’aide d’opérations

Déterminer la limite de la suite de terme général un=(n+1)(n+1n)1−1nu_n=\dfrac{(n+1)\left(n+\frac 1n\right)}{1-\frac 1n}.

Conseil

Étudiez les limites des suites de termes généraux n+1  ,n+1n  ,1−1nn+1\;,n+\dfrac 1n\;,1-\dfrac 1n.

On a lim⁡n→+∞(−1n)=0\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac 1n\right)=0 d'où lim⁡n→+∞(1−1n)=1\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac 1n\right)=1.

Par quotient, on obtient que lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty.

Leçon suivante
Suites géométriques et limites