La limite d’une suite géométrique dépend de sa raison. On ne considérera que les suites géométriques de raison positive et strictement inférieure à $1$ .

I. Suites géométriques

On considère les suites géométriques de raison q positive.

Rappel : Soit une suite $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ . On a pour tout $n\in \textbf N\;,\;u_n=u_0\times q$ .

À noter

Une suite géométrique $u$ de raison $q$ est définie pour tout $n\in \textbf N$ par $u_{n+1}=u_n\times q$ .

Théorème :

Si $0\le q$ < $1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}q^n=0$ .

À noter

Si $q=1$ alors la suite de terme général $q^n$ est constante égale à $1$ .

Si $q=-1$ alors la suite de terme général $q^n$ est bornée, et vaut alternativement $-1$ et $1$ .

Remarques :

Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}q^n=1$ .

Si $q$ > $1$ alors $0$ < $\dfrac 1q$ < $1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac 1q\right)^n=0$ .

À noter

On a pour tout $n\in \textbf N\;,\;\text e^{-n}=\left(\dfrac{1}{\text e}\right)^n \text{ et } -1$ < $\dfrac{1}{\text e}$ < $1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{\text e}\right)^n=0\text{ soit }\lim\limits_{n\to +\infty}\text e^{-n}=0$ .

II. Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

Rappel : On a pour tout réel $q\neq 1$ :

$1+q+q^2+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Théorème :

Si $0\le q$ < $1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty}(1+q+q^2+ ... +q^n)=\dfrac{1}{1-q}$

Méthodes

1) Étudier la limite de suites géométriques

Étudier la limite des suites de termes généraux :

$u_n=\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)^n$ ; $v_n=\dfrac{1}{2^n}$ ; $w_n=\dfrac{1-2^n}{3^n}$

Conseils

Pour la suite $(u_n)$ , appliquez le théorème ; pour $(v_n)$ , remarquez que $\dfrac{1}{2^n}=\left(\dfrac 12\right)^n$ ; pour $(w_n)$ , « distribuez » le dénominateur.

Solution

L’arrondi au dixième de $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ est $0,7$ donc $0 \le \dfrac{\sqrt 2}{2}$ < $1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=0$ .

On a pour tout $n\in \textbf N\;,\;v_n=\dfrac{1}{2^n}$ et $0\le \dfrac 12$ < $1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=0$ .

Pour tout $n\in \textbf N\;,\;w_n= \dfrac{1}{3^n}-\dfrac{2^n}{3^n}=\left(\dfrac 13\right)^n-\left(\dfrac 23\right)^n$ . De plus, $0\le \dfrac 13$ < $1$ et $0\le \dfrac 23$ < $1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac 13\right)^n=\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac 23\right)^n=0$ , d'où par différence $\lim\limits_{n\to +\infty}w_n=0$ .

2) Déterminer la limite d’une somme de termes consécutifs

Soit $n$ un entier naturel non nul. Déterminer la limite des sommes suivantes :

$S_n=1+0,25+0,25^2+ ...+0,25^n$

$T_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^n}$

$D_n=0,1+0,01+...+0,1^n$

Conseils

Pour $S_n$ , appliquez directement le théorème ; pour $T_n$ , considérez une suite géométrique de raison $\dfrac 12$ ; pour $D_n$ remarquez qu’il manque le premier terme pour pouvoir appliquer directement le théorème.

Suites géométriques et limites