La quantité $2n+1$ dépasse n'importe quelle quantité (aussi grande soit-elle) si $n$ est assez grand, ce qui est la définition de $\lim_{n \to +\infty} 2n+1=+\infty$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=2n+1$. Alors :

Puisque $-n+\sin(n) \leq -n+1$ et que $\lim_{n \to +\infty} -n+1=-\infty$, on déduit par comparaison que $\lim_{n \to +\infty} -n+\sin(n)=-\infty$.

On rappelle que pour tout $n,~-1 \leq \sin n \leq 1$. Déterminer à l'aide d'un théorème de comparaison $\lim_{n \to +\infty} -n+\sin(n)$.

Puisque $\dfrac{-1}{n^3} \leq \dfrac{(-1)^n}{n^3} \leq \dfrac{1}{n^3}$ et que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^3}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n^3}=0$, on déduit par le théorème des gendarmes que $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^n}{n^3}=0$.

Que vaut $\lim_{n \to +\infty} \dfrac {(-1)^n}{n^3}$ ?

Puisque $\lim_{n \to +\infty} 2+\dfrac{1}{n}=2$ et $\lim_{n \to +\infty} 4n=+\infty$, par quotient, la limite recherchée vaut $0$.

Que vaut $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2+1/n}{4n} ?$

$\lim_{n \to +\infty} n^2=+\infty$ et  $\lim_{n \to +\infty} 1-\dfrac{1}{n}=1$ de sorte que, par produit, $\lim_{n \to +\infty} n^2-n=+\infty$.

En écrivant $n^2-n=n^2(n-\dfrac{1}{n})$, déterminer $\lim_{n \to +\infty} n^2-n$.