Des démonstrations des cours sur les limites et suites monotones

Voici des démonstrations du cours sur les suites numériques.

Démonstration 1 : le théorème de comparaison

Théorème de comparaison

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles qu'à partir d'un certain rang on ait $u_n\leqslant v_n$.

$1.$ Si $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty$.

$2.$ Si $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-\infty$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=-\infty$.

On ne va montrer que le premier point, le second fonctionnant de la même façon.

On appelle $n_1$ le rang à partir du quel on a $u_n\leqslant v_n$. Soit $A$ un réel.

Puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$, il existe un rang $n_2$ tel que, pour tout entier naturel $n\geqslant n_2$, $u_n\in[A;+\infty[$.

On appelle $n_0$ le maximum de $n_1$ et $n_2$. Ainsi pour tout entier naturel $n\geqslant n_0$ on a $v_n \geqslant u_n \geqslant A$.

Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty$.

Démonstration 2 : le théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes

On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ et un nombre réel $\ell$. On suppose qu'il existe un rang à partir duquel $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = \lim\limits_{n \to +\infty} w_n = \ell$. Alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\ell$.

Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $\ell$.

On appelle $n_1$ le rang à partir duquel $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$

La suite $\left(v_n\right)$ converge vers $\ell$.

On appelle $n_2$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I$.

La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $\ell$.

On appelle $n_3$ le rang à partir duquel tous les termes de la suite appartiennent à $I$.

On appelle $n_0$ le plus grand des trois entiers $n_1, n_2$ et $n_3$.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n \geqslant n_0$, l'intervalle $I$ contient tous les termes $v_n$ et $w_n$.

De plus on a $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$.

Par conséquent $u_n \in I$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell$.

Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ compris entre ceux des deux suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ tendent vers la même limite.

Démonstration 3 : les suites monotones

Propriété :

$1.$ Si une suite $\left(u_n\right)$ croissante converge vers un réel $\ell$ alors pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \leqslant \ell$.

$2.$ Si une suite $\left(u_n\right)$ décroissante converge vers un réel $\ell$ alors pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \geqslant \ell$.

On démontre le premier point par l'absurde ; le deuxième fonctionnant de la même façon.

On suppose qu'il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0} \geqslant \ell$.

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante, par conséquent pour tout entier naturel $n \geqslant n_0$ on a $u_n \geqslant \ell$.

L'intervalle $\left]\ell-1;u_{n_0}\right[$ contient $\ell$ mais aucun des termes $u_n$ à partir du rang $n_0$.

Cela contredit le fait que la suite converge vers $\ell$.

L'hypothèse faite est donc fausse et, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\leqslant \ell$.

(voir démonstration 3 du fichier dédié).

Démonstration 4 : les suites croissantes majorées ou décroissantes minorées

Propriété : Une suite croissante non majorée a pour limite $+\infty$.

On considère un réel $A$ et une suite $\left(u_n\right)$ croissante non majorée.

Il existe donc un rang $n_0$ tel que u_{n_0}>A.

La suite étant croissante on a donc, pour tout entier naturel n>n_0, u_n \geqslant u_{n_0} >A. Tous les termes de la suite appartiennent donc à l'intervalle $[A;+\infty[$ à partir du rang $n_0$. Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty$.

Démonstration 5 : la propriété qui va permettre de conclure pour les suites géométriques

On veut démontrer que :

Si $a$ est un réel strictement positif, alors pour tout entier naturel $n$ on a :

$(1+a)^n\geqslant 1+na$.

Nous allons utiliser un raisonnement par récurrence.

Initialisation : Prenons $n=0$. Alors $(1+a)^0=1$. et $1+0\times a = 1$. Par conséquent, on a bien $(1+a)^0\geqslant 1+0\times a$ La propriété est donc vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang$p$: $(1+a)^p \geqslant 1+pa$ Alors : $(1+a)^{p+1}=(1+a)\times (1+a)^p$

${\phantom{(1+a)^{p+1}}\geqslant (1+a) \times (1+pa)}$

${\phantom{(1+a)^{p+1}}\geqslant 1+pa+a+pa^2}$

${\phantom{(1+a)^{p+1}}\geqslant 1+(p+1)a+pa^2}$

${\phantom{(1+a)^{p+1}}\geqslant 1+(p+1)a}$ car $pa^2 \geqslant 0$

La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $(1+a)^n\geqslant 1+na$

Démonstration 6 : un résultat pour les suites géométriques

Propriété : On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Si $q\leqslant-1$ alors la suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite.

Si $-1\lt q\lt 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =0$.

Si $q=1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =u_0$.

Si $q\gt 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty \qquad \text{si } u_0\gt 0$

Si $q\gt 1$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =-\infty \qquad \text{si } u_0\lt 0$

On ne montrera que le dernier point.

Puisque q>1 cela signifie qu'il existe un réel strictement positif $a$ tel que $q=1+a$.

La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique.

Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=u_0q^n = u_0(1+a)^n$

D'après la propriété précédente, on a $(1+a)^n \geqslant 1+na$ Or $\lim\limits_{n \to +\infty} 1+na = +\infty$.

D'après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} (1+a)^n = +\infty$

$\circ\quad$ Si $u_0\gt 0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty$
$\circ\quad$ Si $u_0 \lt 0$ alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =-\infty$

_{Merci à Eh01 et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette contribution}