Définition : On dit que f(x) tend vers ℓ∈R si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.
On note alors limx→+∞f(x)=ℓ.
On dit alors que la droite d'équation y=ℓ est asymptote à la courbe représentant la fonction f.
Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction f est comprise dans une bande donnée contenant ℓ à partir d'une certaine valeur de x.
Définition : Si une fonction f est définie sur un intervalle ]a−h;a[ ou ]a;a+h[,
on dit que f(x) tend vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A;+∞[ (avec A réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a.
On note alors limx→af(x)=+∞.
On dit que f(x) tend vers −∞ si tout intervalle de la forme ]−∞;B[ (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a.
On note alors limx→af(x)=−∞.
Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe représentant la fonction f.
Remarque : Puisque la fonction f peut avoir une limite différente à gauche et à droite de a on a va écrire :
limx→ax>af(x) ou limx→a+f(x) pour parler de la limite à droite
limx→ax<af(x) ou limx→a−f(x) pour parler de la limite à gauche
Exemple : On considère la fonction f définie sur ]−∞;2[∪]2;+∞[ par f(x)=1x−2.
On a alors limx→2x>2f(x)=+∞ et limx→2x<2f(x)=−∞.
La droite d'équation x=2 est asymptote à la courbe représentant f.
Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...
Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.