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Interprétation graphique des limites de fonctions : les asymptotes

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Définition : On dit que f(x) tend vers R si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.

On note alors limx+f(x)=.

On dit alors que la droite d'équation y= est asymptote à la courbe représentant la fonction f.

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Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction f est comprise dans une bande donnée contenant à partir d'une certaine valeur de x.

Définition : Si une fonction f est définie sur un intervalle ]ah;a[ ou ]a;a+h[,

on dit que f(x) tend vers + si tout intervalle de la forme ]A;+[ (avec A réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a.

On note alors limxaf(x)=+.

On dit que f(x) tend vers si tout intervalle de la forme ];B[ (avec B réel) contient toutes les valeurs f(x) pour x assez proche de a.

On note alors limxaf(x)=.

Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe représentant la fonction f.

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Remarque : Puisque la fonction f peut avoir une limite différente à gauche et à droite de a on a va écrire :

limxax>af(x) ou limxa+f(x) pour parler de la limite à droite

limxax<af(x) ou limxaf(x) pour parler de la limite à gauche

Exemple : On considère la fonction f définie sur ];2[]2;+[ par f(x)=1x2.

On a alors limx2x>2f(x)=+ et limx2x<2f(x)=.

La droite d'équation x=2 est asymptote à la courbe représentant f.

Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...

Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.