Généralités sur les limites de fonctions

I. Limite d'une fonction en plus l'infini ou en moins l'infini

Nous allons distinguer les cas où la limite est infinie et les cas où la limite est finie.

Contrairement aux suites où l'indice $n$ ne pouvait tendre que vers $+\infty$, la variable d'une fonction, si son ensemble de définition le permet, peut tendre vers $-\infty$ ou $+\infty$. Nous allons reprendre la définition vue pour la limite d'une suite et l'adapter au cadre des fonctions pour définir la limite d'une fonction en plus ou moins l'infini.

Définition : On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A;+\infty[$ (avec $A$ réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$

Cela se traduit graphiquement par une courbe qui se trouve, pour $x$ assez grand, au-dessus de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.

Exemple : La fonction $x\mapsto x^2$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

Une définition similaire correspond au cas où la limite est $-\infty$.

Définition : On dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty;B[$ (avec $B$ réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$

Graphiquement cela se traduit par une courbe que se trouve, pour $x$ assez grand, en-dessous de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.

Exemple : La fonction $x\mapsto -2x+3$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$.

Propriétés :

$\circ\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$

$\circ\quad$ Soit $n \in \mathbb{N}$, alors $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$

$\circ\quad$ $\begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty & \text{si } n \text{ est pair}, \\ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases}$

Remarque : $\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}^*, x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$

Il existe un dernier cas : celui où la limite est finie.

II. Limite finie lorsque $x$ tend vers plus ou moins l'infini

Définition : On dit que $f(x)$ tend vers $\ell \in \mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.

On note alors $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell$.

Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction $f$ est comprise dans une bande donnée contenant $\ell$ à partir d'une certaine valeur de $x$.

Exemple : La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ .

Remarque : Tout ce qui précède est valable pour $x$ tendant vers $+\infty$. On peut évidemment fournir des définitions analogues pour $x$ tendant vers $-\infty$. Pour cela il faut remplacer, dans les définitions précédentes, «$x$ assez grand » par «$x$ négatif et assez grand en valeur absolue ».

III. Limite infinie en un réel $a$

Définition :
Dire qu’une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que tout intervalle $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$.

On note :
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$

Remarque :
On définit de façon similaire :
$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$

Propriétés :

$\circ\quad$ Pour tout entier naturel $n$ non nul, si $n$ est pair : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^n} = +\infty$

$\circ\quad$Pour tout entier naturel $n$ non nul, si $n$ est impair, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^n}$ a pour limite : $\begin{cases} +\infty & \text{si } x \to 0^+ \ (\text{limite à droite en } 0), \\ -\infty & \text{si } x \to 0^- \ (\text{limite à gauche en } 0).\end{cases}$

$\circ\quad$ $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$