Calculs type bac (utilisation de la calculatrice)

I. Loi binomiale et Calculatrice

CASIO :
Calcul de $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ : Menu Proba / saisir n / touche nCr / saisir k
Calcul de $p(X=k)$ : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bpd / mode variable, saisir k, n, p
Calcul de $p(X \leq k)$ : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bcd / mode variable, saisir k, n, p

TI :
Calcul de $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ : saisir n / Math-Proba-Combinaison / saisir k
Calcul de $p(X=k)$ : Distrib / binomFdp / saisir n, p, k
Calcul de $p(X \leq k)$ : Distrib / binomFRép / saisir n, p, k

Pour t'entraîner sur un exemple : X ~ B(10 ;0.4)
$p(X=7) = 0.042467$
$p(X \leq 6) = 0.945238$

II. Un exercice d'application

Une urne contient 6 boules jaunes et 8 boules bleues indiscernables au toucher.
On tire une boule, on note la couleur obtenue avant de la remettre dans l'urne, et on renouvelle 4 fois l'expérience.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules jaunes tirées.

a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont vous préciserez les paramètres.

b) Présenter la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.

c) À partir du tableau et de la formule générale de l'espérance d'une variable aléatoire, vérifier que $E(X) = np$.

d) Calculer $P(X \leq 2)$, P(X > 2).

Solution :

$a)$ Les 14 boules dans l'urne sont indiscernables au toucher ; le tirage s'effectue dans des conditions d'équiprobabilité.

L'obtention d'une boule jaune est une épreuve à deux issues. C'est un schéma de Bernoulli :

$\circ\quad$ Succès $S$ = "la boule tirée est jaune", de probabilité $p = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}$.

$\circ\quad$ Échec $\bar{S}$ = "la boule tirée est bleue", de probabilité $q = 1 - p = \dfrac{4}{7}$.

On répète ainsi 4 épreuves identiques et indépendantes ; l'expérience décrit un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p = \dfrac{3}{7}$.

$X$ compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli ; $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(4, \dfrac{3}{7}\right)$.

$b)$ $X$ peut prendre les valeurs de 0 à 4. Pour tout $k \in {0, 1, 2, 3, 4}$, la probabilité est donnée par :
$P(X = k) = \binom{4}{k} \left(\dfrac{3}{7}\right)^k \left(\dfrac{4}{7}\right)^{4-k}$.

À l'aide de la calculatrice, on calcule les différentes probabilités $P(X = k)$ et on complète le tableau .

$c)$ L'espérance calculée avec la formule générale donne :

$E(X) = \displaystyle\sum_{i=0}^{4} x_i \times p(X = x_i)$

$E(X)=\dfrac{1}{2401}(0\times 256+1\times 768+2\times 864+3\times 432+4\times 81)=\dfrac{12}{7}$

Par ailleurs dans le cours, on savait que : $E(X) = np = 4 \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{12}{7}$

$d)$ Calculons les probabilités demandées : - $p(X \leq 2)$ correspond à la somme des probabilités pour $X = 0, X = 1$ et $X = 2$ : $p(X \leq 2) = p(X=0) + p(X=1) + p(X=2)$

En utilisant les valeurs du tableau, on trouve $p(X \leq 2) \approx 0.786$ - p(X > 2) est l'événement complémentaire, soit : p(X > 2) = 1 - p(X \leq 2) p(X > 2) \approx 1 - 0.786 = 0.214 p(X > 2) \approx 1 - 0.786 = 0.214

Des commandes de la calculatrice permettent de trouver directement ce résultat :

CASIO : Menu Calcul / Stat / Dist / BINM / Bcd / mode variable, saisir $2,\; 4,\; 3/7$

TI : Distrib / binomFRép / saisir $4,\;3/7,\;2$

L'événement ( X > 2 ) est réalisé lorsque $X=3$ ou $X=4$, c'est donc l'événement contraire de $( X \leq 2 )$.

Donc p(X>2) = 1 - p(X ( \leq ) 2) \approx 1 - 0.786 soit environ $0.214$

III. Des exemples de diagrammes en barres

Voici le diagramme en barres de la loi binomiale $\mathcal{B}(20, 0.25)$.

Sous le graphique, les paramètres de la loi sont indiqués :

$\circ\quad$ $n = 20$ (nombre d'essais).

$\circ\quad$$p = 0.25$ (probabilité de succès).

$\circ\quad$Espérance $E(X) = 5.00$.

$\circ\quad$Écart-type $\sigma(X) = 1.94$.

Voici le diagramme en barres de la loi binomiale $\mathcal{B}(20, 0.5)$ en rouge.

Les paramètres affichés sous le graphique sont :

$\circ\quad$ $n = 20$ (nombre d'essais).

$\circ\quad$ $p = 0.5$ (probabilité de succès).

$\circ\quad$ Espérance $E(X) = 10.00$.

$\circ\quad$ Écart-type $\sigma(X) = 2.24$.

Voici le diagramme en barres de la loi binomiale $\mathcal{B}(20, 0.85)$ en vert.

Les paramètres affichés sous le graphique sont :

$\circ\quad$$n = 20$ (nombre d'essais).

$\circ\quad$$p = 0.85$ (probabilité de succès).

$\circ\quad$Espérance $E(X) = 17.00$.

$\circ\quad$Écart-type $\sigma(X) = 1.59$.

On observe que la distribution est asymétrique et concentrée vers les valeurs élevées, car la probabilité de succès est grande.