Équation différentielle y' = ay + b

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées

Exemple : Soit à résoudre sur $\mathbb R⁺*$ l'équation $y'=\dfrac 1x$. Nous connaissons une fonction définie sur $\mathbb R⁺*$ et dont la dérivée est la fonction inverse, cette fonction est la fonction logarithme népérien.

On peut donc écrire que $y=\ln x$ est solution du problème. A partir de ce résultat, il est possible d'en obtenir d'autres en ajoutant des constantes. L'équation proposée va admettre une infinité de solutions.

On sait résoudre quelques équations différentielles, dont voici deux exemples.

Soit $a$ un nombre réel, résoudre l'équation différentielle : $y' = ay$
consiste à déterminer toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = a f(x)$.

Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = C e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$.

Remarque : Si on connaît une condition dite initiale, alors on obtient une unique solution.

Pour tout couple $(x_0 ; y_0) \in \mathbb{R}^2$, l'équation $y' = ay$ admet une solution $f$ et une seule telle que $f(x_0) = y_0$.

Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = C e^{ax}$, où $C \in \mathbb{R}$. Voici quelques représentations graphiques des fonctions $x\mapsto C\text e^{3x}$ avec $C\in\mathbb R$ toutes solutions de l'équation différentielle $y'=3y$.

Déterminer dans$\mathbb R$ les solutions de l'équation différentielle $\left\lbrace\begin{matrix} y=2y'\\y(0)=3\end{matrix}\right.$

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle : $y' = ay + b$
consiste à déterminer toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = af(x) + b$.

1er cas : $a=0$ alors l'équation différentielle s'écrit $y'=b$ dont les solutions sont les fonctions définies sur $\mathbb R$ par $f(x)=bx+C$ où $C$ est une constante réelle.

2e cas : $a\neq 0$ alors :

Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay + b$, avec $a \neq 0$, sont les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C \in \mathbb{R}$.

Si de plus on connaît une condition initiale :

Pour tout couple $(x_0 ; y_0) \in \mathbb{R}^2$, l'équation $y' = ay + b$, avec $a \neq 0$, admet une solution $f$ et une seule telle que $f(x_0) = y_0$.

Exercice d'application 2 :

Soit l'équation différentielle $4y' - y = 6$. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.

Pour résoudre l'équation avec second membre $(E)$, on demande de :
$a)$ Résoudre l'équation sans second membre $(E')$ (le second membre est nul).
$b)$ Montrer qu'une fonction $g$ est solution de $(E)$.
$c)$ Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f - g)$ est solution de $(E')$.
$d)$ En déduire les solutions de $(E)$.

Exercice d'application 3 :
Résolution de $y' + 2y = e^x + 3$ $(E)$ :

$a)$ Résoudre $y' + 2y = 0$ $(E')$.
$b)$ Déterminer $a$ et $b$ de façon à ce que $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = ae^x + b$ soit solution de $(E)$.
$c)$ Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(f - g)$ est solution de $(E')$.
$d)$ En déduire les solutions $\mathscr{S}$ de $(E)$.

Soit à résoudre dans$\mathbb R$ l'équation différentielle $\left\lbrace\begin{matrix} y=2y'\\y(0)=3\end{matrix}\right.$

L'équation différentielle $y=2y'$ s'écrit $y'=\dfrac 12 y$. Les solutions sont du type $f(x)=C\text e^{\frac 12 x},C\in \mathbb R$. Mais $f(0)=3$ soit $3=C\text e ^0$ d'où $C=3$.

La solution cherchée est la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=3\text e^{\frac 12 x}$

Exercice 2

Cette équation peut s'écrire sous la forme $y' = \frac{1}{4}y + \frac{3}{2}$.
Elle est de la forme $y' = ay + b$.
Ses solutions sont donc les fonctions : $f : x \mapsto Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Soit, dans notre cas : $f : x \mapsto Ce^{\frac{1}{4}x} - 6$, où $C \in \mathbb{R}$.

Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constante $C$ grâce à la condition initiale imposée : $f(0) = 4$.
On a donc : $C - 6 = 4$, soit $C = 10$.
La fonction $f$ cherchée est donc définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 10e^{\frac{1}{4}x} - 6$.

Exercice 3

$a)$ On applique la propriété du cours, on trouve que les solutions de $(E')$ sont les fonctions $f_k(x) = ke^{-2x}$.

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer $y$ par $g$ et d'identifier alors les constantes.
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = ae^x$.
On en déduit que $f'(x) + 2f(x) = ae^x + 2(ae^x + b) = 3ae^x + 2b$.
$f$ sera donc solution de $(E)$ si $3ae^x + 2b = e^x + 3$, c'est-à-dire si $a$ et $b$ vérifient :
$\left\lbrace\begin{matrix}3a=1\\2b=3\end{matrix}\right.$

c'est-à-dire pour $a = \frac{1}{3}$ et $b = \frac{3}{2}$.
On a donc : $g(x) = \frac{1}{3}e^x + \frac{3}{2}$.

c) $f - g$ est solution de $(E')$
$\Longleftrightarrow \left(f(x) - g(x)\right)' + 2\left(f(x) - g(x)\right) = 0$
$\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) - g'(x) - 2g(x) = 0$
$\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) = g'(x) + 2g(x)$
$\Longleftrightarrow f'(x) + 2f(x) = e^x + 3$
(On a $g'(x) + 2g(x) = e^x + 3$ car $g$ est solution de l'équation avec second membre)
$\Longleftrightarrow f \text{ solution de } (E)$

d) $f$ solution de $(E)$
$\Longleftrightarrow (f - g) \text{ solution de } (E')$
$\Longleftrightarrow f - g = f_k \text{ d'après } a)$
$\Longleftrightarrow f(x) = f_k(x) + g(x) = ke^{-2x} + \frac{1}{3}e^x + \frac{3}{2}$