Notions d’équation différentielle et de primitive

Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l’inconnue de l’équation) et ses dérivées.

Exemples :
$y' = y$ ;
$y' = y^2$ ;
$y'' + \omega^2 y = 0$.

On appelle solution de l’équation différentielle $E$ sur un intervalle $I$ une fonction définie sur $I$ qui vérifie $E$ pour tous les réels de $I$.

Exemples :

La fonction $x \mapsto -\dfrac{1}{x}$ est solution sur $]0 ; +\infty[$ de l’équation différentielle $y' = y^2$.

Les fonctions $t \mapsto \cos(\omega t)$ et $t \mapsto \sin(\omega t)$ sont solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$.

Résoudre une équation différentielle $E$ sur un intervalle $I$ revient à trouver l’ensemble des solutions de $E$ sur $I$.

Exemple :
Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y' = y$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto C e^x$ où $C$ est un réel quelconque.

À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution $f$ de l’équation différentielle $y' = y$ qui vérifie $f(0) = 1$.

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Définition : On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute solution sur $I$ de l’équation différentielle $y' = f$.

Conséquence : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F$ est dérivable sur $I$ et : pour tout réel $x$ de $I$, $F'(x) = f(x)$.

Propriétés :

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

Si $F$ et $G$ sont deux primitives d’une même fonction $f$ sur $I$, alors il existe un réel $k$ tel que pour tout $x \in I$, $F(x) = G(x) + k$.

À noter
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.

On considère l’équation différentielle $E : y' = -y + 2$.

On note $f$ la solution de $E$ telle que $f(x_0) = y_0$ (on admet qu’il en existe une et une seule).

Pour $a \gt x_0$, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d’Euler, une approximation de $f(a)$, avec un pas $h$.

Rappel : La courbe représentative de $f$ admet une tangente en chacun de ses points $M(\alpha ; f(\alpha))$, et pour $h$ très petit, on a :
$f(\alpha + h) \approx f(\alpha) + h \times f'(\alpha)$.

On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de $f(x)$ pour $x$ proche de $\alpha$.

Étape 1 : On définit les suites $x_n$ et $y_n$ pour $n \geq 1$ par :
$x_n = x_{n-1} + h$ et $y_n = f(x_n)$. Donnez une approximation du terme général $y_n$.

Étape 2 : Écrivez l’algorithme demandé.

Solution

Étape 1 : On pose $M_0(x_0 ; y_0)$. On construit une suite de points $M_n(x_n ; y_n)$ tels que, pour $n \geq 1$, $x_n = x_{n-1} + h$ et $y_n = f(x_n) \approx f(x_{n-1}) + h \times f'(x_{n-1})$.

On a donc $y_n \approx f(x_{n-1}) + h \times f'(x_{n-1})$. Or $f(x_{n-1}) = y_{n-1}$ et $f$ est solution de $E$, donc $f'(x_{n-1}) = -f(x_{n-1}) + 2 = -y_{n-1} + 2$.

D’où :
$y_n \approx y_{n-1}(1 - h) + 2h$.

Étape 2