Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l’opération inverse de la dérivation.
I. Solution d’une équation différentielle
Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l’inconnue de l’équation) et ses dérivées.
Exemples : y′=y ; y′=y2 ; y″+ω2y=0.
On appelle solution de l’équation différentielle E sur un intervalle I une fonction définie sur I qui vérifie E pour tous les réels de I.
Exemples : La fonction x↦−1x est solution sur 0 ; +∞ de l’équation différentielle y′=y2. Les fonctions t↦cosωt et t↦sinωt sont solutions sur ℝ de l’équation différentielle y″+ω2y=0.
Résoudre une équation différentielle E sur un intervalle I revient à trouver l’ensemble des solutions de E sur I.
Exemple : Les solutions sur ℝ de l’équation différentielle y′=y sont les fonctions de la forme x↦Cex où C est un réel quelconque.
À noter
La fonction exponentielle est l’unique solution f de l’équation différentielle y′=y, qui vérifie f0=1.
II. Notion de primitive et propriétés
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Définition : On appelle primitive de f sur I toute solution sur I de l’équation différentielle y′=f.
Conséquence : F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et :
pour tout réel x de I, F′x=fx
Propriétés :
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Si F et G sont deux primitives d’une même fonction f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout x∈I,Fx=Gx+k.
À noter
Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Méthode
Approcher une solution par la méthode d’Euler
On considère l’équation différentielle E : y′=−y+2.
On note f la solution de E telle que fx0=y0 (on admet qu’il en existe une et une seule).
Pour a>x0, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d’Euler, une approximation de fa, avec un pas h.
Rappel : La courbe représentative de f admet une tangente en chacun de ses points Mα ; fα, et pour h très petit, on a fα+h≈fα+h×f′α. On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de fx pour x proche de α.
Conseils
Étape 1 On définit les suites xn et yn pour n≥1 par xn=xn−1+h et yn=fxn. Donnez une approximation du terme général yn.
Étape 2 Écrivez l’algorithme demandé.
Solution
Étape 1 On pose M0x0 ; y0. On construit une suite de points Mnxn ; yn tels que, pour n≥1,xn=xn−1+h et yn=fxn=fxn−1+h.
On a donc yn≈fxn−1+h×f′xn−1. Or fxn−1=yn−1 et f est solution de E donc f′xn−1=−fxn−1+2=−yn−1+2. D’où yn≈yn−11−h+2h.
Étape 2
