Calculs de primitives

Méthode

Déterminer des primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

a. $f(x)=2x^3+\dfrac3x$, pour tout $x\in ]0\;;\;+\infty[$

b. $g(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^3}$, pour tout x∈ℝ.

Solution

a. Étape 1 La fonction f est continue sur  $x\in ]0\;;\;+\infty[$ comme somme de fonctions continues ; elle y admet donc des primitives.

Étape 2 $x\mapsto \dfrac{x^4}{4}$ est une primitive de $x\mapsto x^3$ et $x \mapsto \ln x$  est une primitive de $x\mapsto \dfrac1x$ sur $x\in ]0\;;\;+\infty[$, donc les primitives de f sur $x\in ]0\;;\;+\infty[$ sont de la forme $F(x)=2\times \dfrac{x^4}{4}+3\ln x+C=\dfrac{x^4}{2}+3\ln x+C$, où $C$ est une constante réelle.

b. Étape 1 La fonction g est continue sur ℝ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle admet donc des primitives sur ℝ.

Étape 2 Posons $u(x)=1+x^2$. La fonction u est dérivable sur ℝ et $u'(x)=2x$.

Pour tout x∈ℝ, $g(x)=\dfrac12 \times \dfrac{2x}{(1+x^2)^3}=\dfrac12 u'(x)(u(x))^{-3}$.

$G(x)=\dfrac 12 \dfrac{(1+x^2)^{-3+1}}{-3+1}+C$$=\dfrac12 \dfrac{(1+x^2)^{-2}}{-2}+C$$=-\dfrac{1}{4(1+x^2)^2}+C$ où $C$ est une constante réelle.