Continuité, théorème des valeurs intermédiaires

Dans toute cette fiche, soit $I$ un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur de $\mathbb{R}$.

Intuitivement, une fonction continue sur $I$ est une fonction dont on peut représenter dans un repère du plan la courbe représentative sans lever le crayon.

Dans tout ce qui suit, $I$ est un intervalle non vide et non réduit à une seule valeur. De plus, $a$ est une valeur de $I$.

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Remarque importante :
Pour les fonctions définies de façon différente à gauche et à droite de $a$, on montre la continuité en calculant les limites à droite et à gauche de $a$.

Exemples :
1- La fonction $f:x\mapsto|x|$ est continue au point $0$, en effet :
$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)$.

2- Étudions la continuité en $0$ de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\left\lbrace\begin{matrix} g(x)=\dfrac{1}{x+2} \text{ si }x\lt 0 \\ g(x)=\sqrt{x}+1 \text{ si } x\geq 0 \end{matrix}\right.$

On a :
$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)=\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2}$.
$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)=\lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}+1=1$.

Il s'ensuit $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}g(x)\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et donc $g$ n'admet pas de limite au point $0$.
Ce qui implique que $g$ ne peut pas être continue en $0$.

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I$. On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.

Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée et les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente sont continues sur tout intervalle inclus dans leurs ensembles de définition respectifs.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $a$ (respectivement sur $I$).

Si $\alpha$ réel, alors $\alpha f$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$).

Alors $f+g$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$).

Alors $f\times g$ est continue en $a$ (respectivement sur $I$).

1- La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x^2+3x-5+\sin(x)$ est continue sur $\mathbb{R}$ car elle est la somme des deux fonctions $x\mapsto x^2+3x-5$ et $x\mapsto \sin(x)$ continues sur $\mathbb{R}$.

2- La fonction $x\mapsto x\sqrt{x}$ est une fonction continue sur $]0;+\infty[$ comme produit des deux fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto\sqrt{x}$ continues sur cet intervalle.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que a<b et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$.
Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet au moins une solution sur $[a,b]$.

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que a<b et soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a,b]$.
Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=\lambda$ admet une solution unique sur $[a,b]$.

Dans le cas $\lambda=0$, on vérifie $f(a)f(b)\lt 0$.

Montrer que l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.

L'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ est équivalente à $\dfrac{2x+3}{x+1}-x^2=0$.
On pose $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}-x^2$.
L'équation en question s'écrit : $f(x)=0$.

Le domaine de définition de $f$ est :

Or $[1;2]\subset]-1;+\infty[$.

Donc $f$ est définie et continue sur $[1;2]$ comme somme des deux fonctions $x\mapsto \dfrac{2x+3}{x+1}$ et $x\mapsto -x^2$ continues sur $[1;2]$.
De plus : $f(1)=\dfrac{5}{2}-1=\dfrac{3}{2} \text{ et } f(2)= \dfrac{7}{3}-4=-\dfrac{5}{3}$.
Alors : f(1)f(2)<0.

Et on conclut, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $[1;2]$.
Donc : l'équation $\dfrac{2x+3}{x+1}=x^2$ admet une solution sur l'intervalle $[1;2]$.

Merci à Panter et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.