Limites et asymptotes

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La notion de limite vue pour les suites peut s’étendre aux fonctions. On découvrira alors la limite lorsque xx tend vers une valeur finie.

I. Limite finie en l’infini

Définitions : Dire que ℓ est la limite de f(x)f(x) quand xx tend vers +∞+\infty (resp. −∞-\infty) signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x)f(x) pourvu que xx soit suffisamment grand (resp. pourvu que xx soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).
On note lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell (resp. lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\ell


Définitions : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation y=ℓy=\ell est asymptote à la courbe représentative de ff en +∞+\infty (resp. en −∞-\infty) signifie que lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\ell (resp. lim⁡x→−∞f(x)=ℓ\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\ell.


À noter
La courbe se rapproche de « plus en plus » de son asymptote.


II. Limite infinie en l’infini

Définitions : Dire qu’une fonction ff tend vers +∞ (resp. −∞-\infty) quand xx tend vers +∞+\infty signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x)f(x) pourvu que xx soit suffisamment grand.
On note lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty (resp. lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty).
On a des définitions analogues lorsque xx tend vers −∞-\infty.

III. Limite infinie en un point

Définitions : Dire que ff a pour limite +∞ (resp. −∞-\infty) en x0x_0 signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x)f(x) pourvu que xx soit suffisamment proche de x0x_0.


Définition : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d’équation x=ℓx=\ell est asymptote à la courbe représentative de ff signifie que lim⁡x→ℓf(x)=±∞\lim\limits_{x\to \ell}f(x)=\pm\infty.


Remarque : Le calcul de limites de fonctions se fera d’une manière analogue à celui des suites, en utilisant les opérations sur les limites. On pourra faire tendre xx vers une valeur finie, +∞+\infty ou −∞-\infty.
Les limites des fonctions usuelles sont données dans le mémo visuel.


Méthode : Lire et interpréter une limite
On considère une fonction ff dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :
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a. Quel est l’ensemble de définition DfD_f de ff ?
b. Quelles limites pouvez-vous lire sur ce graphique ?
Les interpréter géométriquement.
c. Dresser le tableau de variations complet de ff sur DfD_f.
Conseils
Les limites de ff se lisent en +∞+\infty, et aux points en lesquels la fonction n’est pas définie.


Solution
a. L’ensemble de définition de ff est Df=]0;+∞[D_f=]0 ; +∞[.

b. D’après l’ensemble de définition, on voit qu’il faut déterminer deux ­limites : une limite en 00 et une limite en +∞+\infty.
D’après le graphique, lim⁡x→0=+∞\lim\limits_{x\to 0}=+\infty et lim⁡x→+∞=1\lim\limits_{x\to +\infty}=1.
On en déduit que les droites d’équation x=0x=0 et y=1y=1 sont asymptotes à la courbe représentative de ff.

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Leçon suivante
Continuité, théorème des valeurs intermédiaires