Limites et asymptotes

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Prérequis : On va reprendre, dans ce chapitre, des notions très proches de celles vues sur les suites. Il faudra donc être au point sur les limites de suites. Il faudra également savoir manipuler correctement les expressions littérales.

Enjeu : Le but de ce chapitre est, entre autre, d'être en mesure de compléter les tableaux de variations vus en classe de première. Ce chapitre est très important pour les études de fonctions et fournit des éléments essentiels pour le reste de l'année. De nouvelles fonctions seront vues en cours d'année et des résultats viendront compléter ceux de ce chapitre.

I. Limite d'une fonction en plus l'infini ou en moins l'infini

Nous allons distinguer les cas où la limite est infinie et les cas où la limite est finie.
Contrairement aux suites où l'indice nn ne pouvait tendre que vers ++\infty, la variable d'une fonction, si son ensemble de définition le permet, peut tendre vers -\infty ou ++\infty. Nous allons reprendre la définition vue pour la limite d'une suite et l'adapter au cadre des fonctions pour définir la limite d'une fonction en plus ou moins l'infini.

Définition : On dit que f(x)f(x) tend vers ++\infty en ++\infty si tout intervalle de la forme ]A;+[]A;+\infty[ (avec AA réel) contient toutes les valeurs de f(x)f(x) pour xx assez grand.
On note alors limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty

Cela se traduit graphiquement par une courbe qui se trouve, pour xx assez grand, au-dessus de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
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Exemple : La fonction xx2x\mapsto x^2 tend vers ++\infty en ++\infty.
Une définition similaire correspond au cas où la limite est -\infty.

Définition : On dit que f(x)f(x) tend vers -\infty en ++\infty si tout intervalle de la forme ];B[]-\infty;B[ (avec BB réel) contient toutes les valeurs de f(x)f(x) pour xx assez grand.
On note alors limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty

Graphiquement cela se traduit par une courbe que se trouve, pour xx assez grand, en-dessous de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.

Exemple : La fonction x2x+3x\mapsto -2x+3 tend vers -\infty en ++\infty.
Il existe un dernier cas : celui où la limite est finie.

Définition : On dit que f(x)f(x) tend vers R\ell \in \mathbb{R} si tout intervalle ouvert contenant \ell contient toutes les valeurs f(x)f(x) pour xx assez grand.
On note alors limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=\ell.
On dit alors que la droite d'équation y=y=\ell est asymptote à la courbe représentant la fonction ff.
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Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction ff est comprise dans une bande donnée contenant \ell à partir d'une certaine valeur de xx.

Exemple : La fonction x1xx\mapsto \dfrac{1}{x} tend vers 00 en ++\infty et la droite d'équation y=0y=0 est asymptote à la courbe représentant la fonction.

Remarque : Tout ce qui précède est valable pour xx tendant vers ++\infty. On peut évidemment fournir des définitions analogues pour xx tendant vers -\infty. Pour cela il faut remplacer, dans les définitions précédentes, «xx assez grand » par «xx négatif et assez grand en valeur absolue ».

II. Limite d'une fonction en un réel

Des fonctions peuvent être définies pour tous les réels à l'exception d'une valeur aa et on souhaite analyser ce qui se passe quand xx prend des valeurs proches de aa. On va donc retrouver également ici des limites infinies et des limites finies.
Dans la suite, soit aa réel et hh réel strictement positif.
Définition : Si une fonction ff est définie sur un intervalle ]ah;a[]a-h;a[ ou ]a;a+h[]a;a+h[,
on dit que f(x)f(x) tend vers ++\infty si tout intervalle de la forme ]A;+[]A;+\infty[ (avec AA réel) contient toutes les valeurs f(x)f(x) pour xx assez proche de aa.
On note alors limxaf(x)=+\lim\limits_{x \to a} f(x)=+\infty.

On dit que f(x)f(x) tend vers -\infty si tout intervalle de la forme ];B[]-\infty;B[ (avec BB réel) contient toutes les valeurs f(x)f(x) pour xx assez proche de aa.
On note alors limxaf(x)=\lim\limits_{x \to a} f(x)=-\infty.

Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation x=ax=a est asymptote à la courbe représentant la fonction ff.
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Remarque : Puisque la fonction ff peut avoir une limite différente à gauche et à droite de aa on a va écrire :
limxax>af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a \\ x\gt a}}f(x) ou limxa+f(x)\lim\limits_{x \to a^+}f(x) pour parler de la limite à droite
limxax<af(x)\lim\limits_{\substack{x \to a\\ x\lt a}}f(x) ou limxaf(x)\lim\limits_{x \to a^-}f(x) pour parler de la limite à gauche

Exemple : On considère la fonction ff définie sur ];2[]2;+[]-\infty;2[\cup]2;+\infty[ par f(x)=1x2f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
On a alors limx2x>2f(x)=+\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x\gt 2}}f(x)=+\infty et limx2x<2f(x)=\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x\lt 2}}f(x)=-\infty.
La droite d'équation x=2x=2 est asymptote à la courbe représentant ff.


Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...
Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.

Remarque : cas d'une fonction continue
Ces limites peuvent être finies. C'est notamment le cas lorsque la fonction est continue en aa (voir le chapitre sur la continuité à ce sujet), c'est-à-dire qu'au voisinage de aa sa représentation graphique peut être tracée sans avoir à lever le crayon.
Si ff est définie en aa alors, limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a).

Exemple : si ff est une fonction polynomiale alors limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)=f(a). C'est en particulier le cas quand f(x)=xnf(x)=x^nnNn\in \mathbb N
limx12x2+5x3=2×12+5×13=4\lim\limits_{x \to 1}2x^2+5x-3=2\times 1^2+5\times 1-3=4.
limxax=a\lim\limits_{x \to a}\sqrt{x}=\sqrt{a} pour a0a \geqslant 0.

Remarque : Si la courbe représentant une fonction ff possède une asymptote "horizontale" (respectivement "verticale") cela signifie que pour de grandes valeurs de xx (éventuellement en valeur absolue et x<0x\lt 0) ou au voisinage d'un réel donné, la courbe et la droite asymptote sont très proches l'une de l'autre.

III. Limites usuelles

Quelques limites importantes sont à connaître.
Soit nn un entier naturel non nul, limxxn={+ si n est pair si n est impair\lim\limits_{x\to-\infty} x^n= \left\lbrace\begin{matrix} +\infty \text{ si } n \text{ est pair} \\-\infty \text{ si } n \text{ est impair}\end{matrix}\right. et limx+xn=+\lim\limits_{x\to+\infty} x^n= +\infty

En particulier limxx2=+\lim\limits_{x\to -\infty} x^2=+\infty et limxx3=\lim\limits_{x\to -\infty} x^3=-\infty

limx+1x=0\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0

limx1x=0\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0

limx0+1x=+\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

limx01x=\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

limx+x=+\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty