Prérequis : On va reprendre, dans ce chapitre, des notions très proches de celles vues sur les suites. Il faudra donc être au point sur les limites de suites. Il faudra également savoir manipuler correctement les expressions littérales.
Enjeu : Le but de ce chapitre est, entre autre, d'être en mesure de compléter les tableaux de variations vus en classe de première. Ce chapitre est très important pour les études de fonctions et fournit des éléments essentiels pour le reste de l'année. De nouvelles fonctions seront vues en cours d'année et des résultats viendront compléter ceux de ce chapitre.
Enjeu : Le but de ce chapitre est, entre autre, d'être en mesure de compléter les tableaux de variations vus en classe de première. Ce chapitre est très important pour les études de fonctions et fournit des éléments essentiels pour le reste de l'année. De nouvelles fonctions seront vues en cours d'année et des résultats viendront compléter ceux de ce chapitre.
I. Limite d'une fonction en plus l'infini ou en moins l'infini
Nous allons distinguer les cas où la limite est infinie et les cas où la limite est finie.
Contrairement aux suites où l'indice ne pouvait tendre que vers , la variable d'une fonction, si son ensemble de définition le permet, peut tendre vers ou . Nous allons reprendre la définition vue pour la limite d'une suite et l'adapter au cadre des fonctions pour définir la limite d'une fonction en plus ou moins l'infini.
Définition : On dit que tend vers en si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs de pour assez grand.
Définition : On dit que tend vers en si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs de pour assez grand.
On note alors
Cela se traduit graphiquement par une courbe qui se trouve, pour assez grand, au-dessus de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
Cela se traduit graphiquement par une courbe qui se trouve, pour assez grand, au-dessus de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
Exemple : La fonction tend vers en .
Une définition similaire correspond au cas où la limite est .
Définition : On dit que tend vers en si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs de pour assez grand.
Définition : On dit que tend vers en si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs de pour assez grand.
On note alors
Graphiquement cela se traduit par une courbe que se trouve, pour assez grand, en-dessous de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
Exemple : La fonction tend vers en .
Graphiquement cela se traduit par une courbe que se trouve, pour assez grand, en-dessous de toutes les droites "horizontales" qu'on peut se fixer.
Exemple : La fonction tend vers en .
Il existe un dernier cas : celui où la limite est finie.
Définition : On dit que tend vers si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs pour assez grand.
Définition : On dit que tend vers si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs pour assez grand.
On note alors .
On dit alors que la droite d'équation est asymptote à la courbe représentant la fonction .
Graphiquement, cela signifie que la courbe représentant la fonction est comprise dans une bande donnée contenant à partir d'une certaine valeur de .
Exemple : La fonction tend vers en et la droite d'équation est asymptote à la courbe représentant la fonction.
Remarque : Tout ce qui précède est valable pour tendant vers . On peut évidemment fournir des définitions analogues pour tendant vers . Pour cela il faut remplacer, dans les définitions précédentes, « assez grand » par « négatif et assez grand en valeur absolue ».
Exemple : La fonction tend vers en et la droite d'équation est asymptote à la courbe représentant la fonction.
Remarque : Tout ce qui précède est valable pour tendant vers . On peut évidemment fournir des définitions analogues pour tendant vers . Pour cela il faut remplacer, dans les définitions précédentes, « assez grand » par « négatif et assez grand en valeur absolue ».
II. Limite d'une fonction en un réel
Des fonctions peuvent être définies pour tous les réels à l'exception d'une valeur et on souhaite analyser ce qui se passe quand prend des valeurs proches de . On va donc retrouver également ici des limites infinies et des limites finies.
Dans la suite, soit réel et réel strictement positif.
Définition : Si une fonction est définie sur un intervalle ou ,
on dit que tend vers si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs pour assez proche de .
On note alors .
On dit que tend vers si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs pour assez proche de .
On dit que tend vers si tout intervalle de la forme (avec réel) contient toutes les valeurs pour assez proche de .
On note alors .
Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation est asymptote à la courbe représentant la fonction .
Dans les deux cas, on dit que la droite d'équation est asymptote à la courbe représentant la fonction .
Remarque : Puisque la fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de on a va écrire :
ou pour parler de la limite à droite
ou pour parler de la limite à gauche
Exemple : On considère la fonction définie sur par .
Exemple : On considère la fonction définie sur par .
On a alors et .
La droite d'équation est asymptote à la courbe représentant .
Remarque : Les limites à gauche et à droite peuvent être égales, l'une peut exister mais pas l'autre, l'une peut être infinie et pas l'autre,...
Il faut donc étudier si besoin, ces deux limites.
Remarque : cas d'une fonction continue
Remarque : cas d'une fonction continue
Ces limites peuvent être finies. C'est notamment le cas lorsque la fonction est continue en (voir le chapitre sur la continuité à ce sujet), c'est-à-dire qu'au voisinage de sa représentation graphique peut être tracée sans avoir à lever le crayon.
Si est définie en alors, .
Exemple : si est une fonction polynomiale alors . C'est en particulier le cas quand où
Exemple : si est une fonction polynomiale alors . C'est en particulier le cas quand où
.
pour .
Remarque : Si la courbe représentant une fonction possède une asymptote "horizontale" (respectivement "verticale") cela signifie que pour de grandes valeurs de (éventuellement en valeur absolue et ) ou au voisinage d'un réel donné, la courbe et la droite asymptote sont très proches l'une de l'autre.
Remarque : Si la courbe représentant une fonction possède une asymptote "horizontale" (respectivement "verticale") cela signifie que pour de grandes valeurs de (éventuellement en valeur absolue et ) ou au voisinage d'un réel donné, la courbe et la droite asymptote sont très proches l'une de l'autre.
III. Limites usuelles
Quelques limites importantes sont à connaître.
Soit un entier naturel non nul, et
En particulier et
En particulier et