Les représentations graphiques de deux fonctions peuvent être symétriques par rapport à la droite . Cela permet d’en déduire certaines propriétés.
I. Fonction réciproque
Théorème : Si une fonction f est continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle , alors la fonction réciproque de , notée , est définie, continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur (resp. ).
Remarque : Ce théorème se généralise au cas où l’intervalle est ouvert, semi-ouvert, ou avec une borne infinie ; dans ce dernier cas, on remplace ou par ou .
D’une manière générale, on admettra que si est continue et strictement monotone sur , les intervalles et sont de même nature.
Interprétation : Pour déterminer la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle , il suffit d’exprimer en fonction de , à partir de .
II. Représentation graphique d’une fonction réciproque
Théorème : Les courbes représentant deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
Exemple : est continue et strictement croissante sur . admet donc une fonction réciproque définie sur . Or pour , . Donc .
Méthode : Déterminer une fonction réciproque
Soit la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative.
a. Montrer que admet une fonction réciproque sur .
b. Déterminer la tangente à au point d’abscisse 0.
c. Tracer dans un repère orthonormé et en déduire la courbe représentative de .
Conseils
a. Pour montrer que f admet une fonction réciproque, appliquez le premier théorème. Vérifiez toutes les hypothèses de ce théorème :• f est continue sur ]−1 ; + ∞[ ;• f est strictement monotone sur ]−1 ; + ∞[.
b. Appliquez la formule donnant l’équation d’une tangente en un point.
c. Pour tracer la courbe représentant f −1, on fera une symétrie de C par rapport à la droite d’équation y = x, et on utilisera la tangente au point d’abscisse 0.
a. Les fonctions et sont continues sur ℝ, est donc continue sur ℝ, en particulier sur .
Pour montrer que f est strictement monotone sur , étudions le signe de sa dérivée. est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables.
Pour tout , .
est du signe de car > 0. Sur , > 0, donc est strictement croissante.
Ainsi, est continue et strictement croissante sur . Elle admet une fonction réciproque f −1 définie sur .
b. Une équation de la tangente à au point d’abscisse 0 est
soit .
c. Remarquons que le point d’abscisse 0 de a pour ordonnée 0 et est donc sur la droite d’équation . Les courbes représentatives de et auront donc ce point en commun.
