Calcul d’intégrales, propriétés et valeur moyenne

On admet le résultat suivant :

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$, $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ et $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a,b]$. On a alors : $\boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)}$

Remarque : La différence $F(b)-F(a)$ est souvent notée $\left[F(x)\right]_a^b$ , on écrit donc : $\boxed{\displaystyle \int_{a}^b f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)}$

Théorème : si $f$ est une fonction continue positive sur $[a,b]$, alors la fonction $F_a$ définie sur $[a,b]$ par $\begin{aligned}\int_a^x f(t)\text{ d}t\end{aligned}$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.

Calcul de $A=\displaystyle \int_{-1}^1 4x^3+3x^2-2x+6\text{ d}x$

$A=14$.

Exemple 2

Calcul de $\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x$

${\phantom{\displaystyle \int_{1}^3 \dfrac{1}{x^3}+\dfrac{2}{x^5}\text{ d}x}= 1-\dfrac{1}{18}-\dfrac{1}{162} = \dfrac{76}{81}}$

Exemple 3

Calcul de $\displaystyle \int_{1}^4 \dfrac{\sqrt{u}}{2u}\text{ d}u$

Calcul de $\displaystyle \int_{1}^2 \dfrac{2(t+1)}{(t^2+2t)^3}\text{ d}t$

$1.$ Linéarité

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$, $f \text{ et } g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ et $k$ un réel quelconque. On a : $\displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x) \text{ d}x=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x$ $\displaystyle\int_{a}^{b} kf(x) \text{ d}x=k\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

Exemple : Calculer $A=\begin{aligned}\int_{1}^{2} \dfrac{x^2+1}{x}\text{ d}x\end{aligned}$

$2.$ Relation de Chasles

Soient $a \text{ et } c$ deux réels tels que $a\lt c$, $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,c]$ et $b$ un réel de $[a,c]$. On a : $\begin{aligned}\int_{a}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned} = \begin{aligned}\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\end{aligned} +\begin{aligned}\int_{b}^{c} f(x) \text{ d}x\end{aligned}$

Exemple : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par: $\left\lbrace\begin{matrix} f(x)=x \text{ si }x\lt 1 \\ f(x)=\dfrac{1}{x} \text{ si } x\geq 1 \end{matrix}\right.$

Montrer que $f$ est continue sur l’intervalle $[-2,4]$ puis calculer $\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x$

La continuité : les fonctions $x\mapsto x \text{ et }x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sont continues respectivement sur $[-2,1[$ et $[1,4]$ Donc $f$ est continue sur ces deux intervalles.

Le problème ne se pose alors qu’au point $x=1$ On a : $f(1)=\dfrac{1}{1}=1$ $\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1}{x}=1$ $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}x=1$ On en déduit: $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=1=f(1)$

Il s’ensuit que $f$ est continue au point $1$ et donc : $\boxed{\text{ f est continue sur } [-2,4]}$ L’intégrale $\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x$ a donc un sens. Calcul de l’intégrale $\int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x$ $\displaystyle \int_{-2}^{4} f(x) \text{ d}x= \int_{-2}^{1} f(x) \text{ d}x + \int_{1}^{4} f(x) \text{ d}x \text{ }\bigl(\text{ relation de Chasles}\bigr)$

Propriété : Soit $a$ un réel positif et soit $f$ une fonction continue sur $[-a,a]$

$\circ$ Si $f$ est paire, alors : $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=2\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \text{ d}x$

$\circ$ Si $f$ est impaire, alors : $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \text{ d}x=0$

Exemple : Calcul de $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x$ La fonction $x\mapsto\sin(x)$ est impaire et continue sur $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ La fonction $x\mapsto\cos(x)$ est paire et continue sur $\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$ $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x)+\cos(x) \text{ d}x =\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \text{ d}x+\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x) \text{ d}x$

Propriété : Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$, alors :

$\circ$ Si $f$ est positive sur l’intervalle $[a,b]$, alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\geq 0$

$\circ$ Si $f$ est négative sur l’intervalle $[a,b]$, alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq 0$

Remarque : La réciproque est fausse en général.

Contre-exemple : On a : $\displaystyle\int_{-1}^{2} 2x \text{ d}x=\left[x^2\right]_{-1}^2=3\geq 0$ Mais la fonction $x\mapsto 2x$ n’est pas positive sur $[-1,2]$ puisqu’elle est négative sur $[-1,0]$.

$5$.Ordre

Propriété : Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f \text{ et } g$ deux fonctions continues sur l’intervalle $[a,b]$ telles que, pour tout $x \text{ de } [a,b]\text{ : }f(x)\leq g(x)$.

Alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \text{ d}x$

Remarque : La réciproque est fausse en général. Exemple : On a, pour tout $x$ appartenant à $[1,7]\text{ : } e^x\geq x$ Donc : $\displaystyle \int_{1}^{7} x \text{ d}x\leq \displaystyle \int_{1}^{7} e^x \text{ d}x$

Définition : La valeur moyenne d’une fonction

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ On appelle la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a,b]$ le nombre réel suivant: $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x$

La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ correspond à la hauteur du rectangle de côté $b-a$ dont l'aire est égale à l'aire sous la courbe représentative de $f$.

Exemple : Soit à calculer la valeur moyenne de $f\mapsto -x^2+5x+2$ sur $[0 ; 3]$.

Propriété : Inégalité de la moyenne

Soient $a \text{ et } b$ deux réels tels que $a\lt b$ et $f$ une fonction continue sur l’intervalle $[a,b]$ telle qu’il existe $m \text{ et } M \text{ de } \mathbb{R}$ vérifiant $m\leq f(x)\leq M \text{ pour tout } x \text{ de } [a,b]$ Alors : $m\leq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \text{ d}x\leq M$

Merci à Panter et à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche