Calcul d’intégrales, valeur moyenne

Une intégrale se calcule à l’aide des primitives de la fonction que l’on intègre.

I. Lien entre intégrale et primitives d’une fonction continue

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b], la fonction F_a définie sur [a ; b] par Fax  =  ∫axftdt est la primitive de f qui s’annule en a. 

Conséquence : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a et b de I, on a :

_{∫abftdt  =  Ftab  =  Fb  −  Fa}

II. Linéarité de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

III. Valeur moyenne

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel :

μ  =  1b  −  a∫abftdt

Interprétation graphique : Pour une fonction ­positive f, la valeur moyenne µ est le réel tel que le rectangle de côtés de mesures µ et (b − a) ait la même aire que le domaine délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = a et x = b.

Méthode

Calculer l’aire d’un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g ­définies sur ]0 ; + ∞[par fx = x − 2 + lnxx et g(x) = x − 2.

On note C et C′ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Calculer l’aire en cm², du domaine D du plan limité par les courbes C, C′ et les droites d’équation x  =  1e et x = 2.

Conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction f − g sur l’intervalle 1e  ;  2.

Étape 2 Découpez 1e  ;  2 en intervalles sur lesquels le signe de f − g est constant. L’aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l’intégrale de f − g si f − g est positive, et à l’opposé de l’intégrale de f − g si f − g est négative.

L’aire de D (en u.a.) est alors la somme de l’aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm².

Étape 1 Pour tout x > 0, on a f(x)  −  g(x)  =  lnxx ⩾ 0⇔x ⩾ 1.

Donc f − g est négative sur 1e  ;  1, positive sur [1 ; 2].

Étape 2 On a A  =  A1  +  A2  =  −∫1e1(lntt)dt  +  ∫12(lntt)dt. Or une primitive de t↦lntt, fonction de la forme u′u avec u(t) = lnt, est t↦12lnt2. Donc

A  =  −12lnt21e1  +  12lnt212  =  −−12ln1e2  +  12ln22  =  12  +  ln222 u.a.

Étape 3 On a 1 u.a. = 1 × 2 cm² = 2 cm². Donc A = 1 + (ln2)² cm².