La formule du cours donne $F(b)-F(a)$. En général, ce nombre n'est pas égal à $F(b-a)$. En revanche, il est égal à $F(b)$ si $F$ est la primitive qui s'annule en $a$.

Si $f$ est une fonction continue sur $\left[a; b\right]$, et si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_a^b f(t)dt=\ldots$

Dans l'intégrale, le $x$ qui apparaît dans $f(x)$ est une variable muette, ce qui signifie que la valeur de l'intégrale ne dépend pas de cette valeur. L'écriture $F : x \mapsto \int_0^1 f(x)dx$ n'a pas de sens, il faudrait écrire $F : x \mapsto \int_0^1 f(t)dt$. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F^\prime=f$ et non l'inverse.

$F : x \mapsto \left[ f(1)-f(x) \right] $

Si $f$ est une fonction continue sur $\left[0; 1\right]$, alors une primitive de $f$ est :

La linéarité de l'intégrale fonctionne comme la linéarité dans $\mathbb{R}$. On ne peut factoriser par $k$ que si tous les termes sont multipliés par $k$, et on peut additionner dans l'ordre qu'on veut. Par ailleurs, on n'a pas, en général, $f(kx)=kf(x)$.

$k \times \int_0^1 f(t)dt+\int_0^1 g(t)dt$

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\left[0; 1\right]$ et $k \in \mathbb{R}$, alors $\int_0^1 k \times f(t)+g(t)dt=\ldots$

Quelle que soit la primitive choisie, on utilise la formule $\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$ pour calculer l'intégrale. Donc $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$. En revanche, la formule $\int_a^x f(t)dt=F(x)$ n'est valable que si $F$ est la primitive qui s'annule en $a$.

$\int_a^b f(t)dt$ ne dépend pas de la primitive choisie pour le calcul.

Pour tout réel $x$, $\int_a^x f(t)dt=F(x)$.

Si $f$ est une fonction continue sur $\left[a; b\right]$, et $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ différentes, alors :

La valeur moyenne de $f$ est $\dfrac{1}{b-a} \int_a^bf(t)dt$, car on additionne toutes les valeurs prises par $f$ sur cet intervalle et on divise cette somme par la taille de l'intervalle, qui est $b-a$.

Si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$, et si $F$ est une primitive de $f$, alors sa valeur moyenne entre $a$ et $b$ est :