Théorème de Thalès

Légende de la leçon

Vert : définition

I. Les points clés

1) Configuration de Thalès

a) Triangles emboîtés : premier cas

ABC et AMN sont deux triangles tels que $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et (MN) // (BC).

b) Triangles emboîtés : second cas (avec des demi-droites)

ABC et AMN sont deux triangles tels que $M \in [AB)$, $N \in [AC)$ et (MN) // (BC).

2) Théorème de Thalès

Étant donnés deux triangles ABC et AMN tels que $M \in (AB)$ et $N \in (AC)$, si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

On utilise le théorème de Thalès :

• Pour calculer une longueur inconnue dans une configuration de Thalès
• Pour démontrer que deux droites données ne sont pas parallèles

3) Réciproque du théorème de Thalès

Étant donnés deux triangles ABC et AMN : si les points A, B, M d’une part et les points A, C, N d’autre part sont alignés dans le même ordre et si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On applique la réciproque de Thalès pour démontrer que deux droites données sont parallèles.

II. Un peu de méthode

1) Calculer des longueurs

Sur la figure : AB = 9 cm ; AC = 12 cm ; AM = 3 cm ; MN = 5 cm ; (MN) // (BC)

Calculer les longueurs AN et BC.

1. Je commence par dessiner un schéma si la figure n'est pas donnée, en y reportant les longueurs connues, et je décris la configuration. ABC et AMN sont deux triangles tels que $M \in (AB)$, $N \in (AC)$ et (MN) // (BC).

2. J'applique le théorème de Thalès à la configuration donnée, en écrivant une égalité de trois rapports : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$

3. Je remplace les valeurs connues et je calcule les longueurs inconnues à l’aide de la propriété d’égalité des produits en croix : $\dfrac{3}{9} = \dfrac{AN}{12} = \dfrac{5}{BC}$

J’en déduis que $9 \times AN = 3 \times 12$

D’où $AN = \dfrac{3 \times 12}{9} = 4~cm$

J’en déduis que $3 \times BC = 5 \times 9$

D’où $BC = \dfrac{5 \times 9}{3} = 15~cm$

Définition

Produits en croix. On parle de produits en croix parce que, si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$.

2) Démontrer que deux droites données sont parallèles ou non

Exemple 1

$M \in (AB)$, $N \in (AC)$, AB = 8 cm, AC = 12 cm, AM = 6 cm et AN = 9 cm

Les droits (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

1. Je décris la configuration donnée. AMN et ABC sont deux triangles tels que $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$

2. Je calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$

3. Je compare ces deux résultats et je conclus. Donc, comme $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, j'en déduis que les droites (MN) et (BC) sont parallèle, d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Exemple 2

$M \in (AB)$, $N \in (AC)$, AB = 15 cm, AC = 10 cm, AM = 9 cm et AN = 8 cm

Les droits (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

1. Je décris la configuration donnée. AMN et ABC sont deux triangles tels que $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$

2. Je calcule séparément $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$

3. Je compare ces deux résultats et je conclus. Donc, comme $\dfrac{AM}{AB} \ne \dfrac{AN}{AC}$, j'en déduis que les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles, d'après la réciproque du théorème de Thalès.