Cosinus d'un angle

I) Les points clés

1) Cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle

$ABC$ étant un triangle rectangle en $A$, on appelle cosinus d'un angle aigu du triangle $ABC$ le rapport :

\dfrac{côté~adjacent}}{hypothénuse}

Exemple : dans le triangle $ABC$,

• $cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$;
• et $cos(\widehat{ACB}) = \dfrac{AC}{BC}$

Si on connaît la mesure en degrés d'un angle, on peut calculer son cosinus à l'aide d'une calculatrice, grâce à la touche cos.

Mot-clé

Angle aigu : Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre $0^o$ et $90^o$. 

2) Propriétés du cosinus d'un angle aigu

• Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre $0$ et $1$ ;
  
  
• Si la mesure d'un angle aigu augmente, alors la valeur de son cosinus diminue.

Exemples :

• $\cos(0^o) = 1$ ;
• $\cos (30^o) \approx 0,87$ ;
• $\cos(60^o) = 0,5$ ;
• $\cos (90^o) = 0$.

On a : 0° < 30° < 60° < 90°, mais cos (0°) > cos (30°) > cos (60°) > cos (90°).

II) Un peu de méthode

1) Calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8~cm$ et $BC=10~cm$.

Pour trouver une valeur approchée de la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC}$ :

1. Je calcule le cosinus de l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide de la formule :

$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{8}{10}$

2. Je calcule l'angle $\widehat{ABC}$ à l'aide de la calculatrice (configurer en mode degrés) :

Shift ou INV ou 2nd $\rightarrow cos^{-1}(\dfrac{8}{10}) \rightarrow$ Exe ou =

Ou encore Shit ou Inv ou 2nd $\rightarrow$ Trig $\rightarrow \cos^{-1}(\dfrac{8}{10})$

Donc $\widehat{ABC} \approx 36,9^o$ au dixième près.

2) Calculer une longueur inconnue d'un triangle rectangle

a) Calcul de la longueur AB d'un côté de l'angle droit

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $BC=12~cm$ et $\widehat{ABC} = 40^o$

$cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$,

donc $\cos(40^o) = \dfrac{AB}{12}$

D’où $AB = 12 \times \cos(40^o) \approx 9,2~cm$

b) Calcul de la longueur BC de l'hypoténuse

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=9~cm$ et $\widehat{ABC} = 50^o$

$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$,

donc $\cos(50^o) = \dfrac{9}{BC}$

D’où $BC \times \cos(50^o) = 9$

et $BC = \dfrac{9}{\cos(50^o)} \approx 14,0~cm$