I) Les points clés

La racine carrée d'un nombre positif N est le nombre positif dont le carré est égal à N. Elle se note $\sqrt{N}$ .

N \geq 0

\sqrt{N} \geq 0

(\sqrt{N})^{2} = \sqrt{N} \times \sqrt{N} = N

\sqrt{N^{2}} = N

Exemples :

(\sqrt{25})^{2} = 5^{2} = 25

(\sqrt{19})^{2} = 19

(\sqrt{137})^{2} = 137

\sqrt{6^{2}} = \sqrt{36} = 6

\sqrt{13^{2}} = 13

\sqrt{129^{2}} = 129

Mots-clés
Radical : Le radical est le nom donné au symbole $\sqrt{}$ .
Carré parfait : Il s'agit d'un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.

II) Un peu de méthode

1) Déterminer la racine carrée d'un nombre

Une racine carrée peut être :

- un nombre entier ;

- un nombre décimal ;

- un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers ;

- un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre qui ne soit ni entier, ni décimal, ni rationnel.

Illustrons les différents cas possibles.

Exemples :

$8 \times 8 = 64$ , donc $\sqrt{64} = 8$ , qui est un nombre entier.
$0,5^{2} = 0,25$ , donc $\sqrt{0,25} = 0,5$ , qui est un nombre décimal.
$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ , donc $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ .
$(\sqrt{2})^{2}$ , donc la valeur exacte de la racine carrée de 2 s'écrit $\sqrt{2}$ .

La calculatrice permet d'en donner une valeur approchée :

\sqrt{2} = 1,414213562...

2) Encadrer la racine carrée d'un entier positif par deux nombres entiers

Je cherche à encadrer la racine carrée de 132.

Je sais que

121 \lt132 \lt144

et que 121 et 144 sont des carrés parfaits dont les racines respectives sont 11 et 12.

Donc je peux en déduire que

11 \lt \sqrt{132} \lt 12

Racine carrée d'un nombre positif

I) Les points clés

II) Un peu de méthode

1) Déterminer la racine carrée d'un nombre

2) Encadrer la racine carrée d'un entier positif par deux nombres entiers