Tangente à la courbe d'une fonction

I. Définition

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  La sécante noire pivote autour du point fixe $A$ de la courbe lorsque le point $M$ se rapproche de $A$. La position limite de cette sécante est la droite rouge, appelée tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$.

  II. Propriété

  $f$ est une fonction dérivable en un réel $a$ de $I$.
  Dans un repère, la tangente à la courbe représentative $C$ de la fonction $f$ au point d’abscisse $a$ est la droite $T$ qui passe par le point $A(a\;;\;f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

  Une équation de la tangente 𝑻 est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

  Démonstration

  La tangente a une équation de la forme $y = mx + p$ où $m = f'(a)$.

  Donc on a $y = f'(a)x + p$.

  Or, $A(a ; f(a))$ appartient à la tangente, donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite.

  $f(a) = f'(a) \times a + p$

  $\Leftrightarrow f(a) - a f'(a) = p$

  Donc on a :

  $y = f'(a)x + f(a) - a f'(a)$

  $\Leftrightarrow y = f'(a)(x - a) + f(a)$