Définition de la dérivée

I. Taux d'accroissement

Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et $a$ un réel appartenant à $I$.
Le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a + h$ est la fonction définie par :
$\tau(h) = \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ où $h \neq 0$ et $a + h \in I$.

II. Nombre dérivé

Définition :
Si $\tau(h)$ tend vers un unique nombre réel quand $h$ tend vers $0$, on dit que $f$ est dérivable en $a$.
Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$. On le note $f'(a)$.

On écrit alors : $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Remarque :
On peut également définir $f'(a)$, s’il existe, de la manière suivante :
$f'(a) = \displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$

III. Exemples

$1.$ Soit $f(x) = 3x^2$. Montrer que $f$ est dérivable en $2$ et calculer $f'(2)$.

Solution :

$\tau(h) = \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} = \dfrac{3(2+h)^2 - 12}{h}$

$= \dfrac{3(4 + 4h + h^2) - 12}{h}$

$= \dfrac{12 + 12h + 3h^2 - 12}{h}$

$= \dfrac{3h^2 + 12h}{h}$

$= 3h + 12$

$\displaystyle\lim_{h \to 0} \tau(h) = \displaystyle\lim_{h \to 0} (3h + 12) = 12$

$12$ est un nombre réel, donc $f$ est dérivable en $2$ et $f'(2) = 12$.

$2.$ Soit $f(x) = |x|$. Cherchons si $f$ est dérivable en $0$.

Solution :

$\tau(h) = \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$

Si $h \lt 0$, alors $\tau(h) = -1$

Si $h \gt 0$, alors $\tau(h) = 1$

Ici, on n’a pas d’unique nombre réel, donc $f$ n’est pas dérivable en $0$.

IV. Fonction dérivable sur un intervalle $I$

Définition : Dire que $f$ est dérivable sur $I$ signifie que $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction qui, à tout $x$, associe le nombre $f'(x)$.

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x-2}{x-3}$ sur $\mathbb R\setminus\{3\}$.

$\checkmark$ $f$ est-elle dérivable en $2$ et si oui, que vaut son nombre dérivé en $2$ ?

Solution :

$\checkmark$ $f(2)=0 \text{ et } f(2+h)=\dfrac{2+h-2}{2+h-3} = \dfrac{h}{h-1}$

On calcule le taux de variation :

$\tau=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{ \dfrac{h}{(h-1)} }{h}=\dfrac{h}{h(h-1)}=\dfrac{1}{h-1}$

Or $\displaystyle\lim_{h\to 0}(\tau)=\displaystyle\lim_{h\to 0}(\dfrac{1}{h-1}) = -1$

On en conclut que la fonction est dérivable en 2 et que son nombre dérivé en 2 vaut -1 ; on peut écrire $f'(2)=-1$.