Succession d'épreuves indépendantes

I. Modélisation d'une succession d'épreuves indépendantes

Définition :
Dans une succession d’épreuves, lorsque l’issue d’une épreuve ne dépend pas des épreuves précédentes, on dit que ces épreuves sont indépendantes.

Univers et issues d’une succession d’épreuves indépendantes :
On considère $n$ épreuves successives indépendantes d’univers $\Omega_1, \dots, \Omega_n$.
L’univers $\Omega$ de cette succession de $n$ épreuves indépendantes est le produit cartésien :
$\Omega = \Omega_1 \times \dots \times \Omega_n$.

Les issues de $\Omega$ sont les $n$-uplets $(x_1, \dots, x_n)$ où $x_i \in \Omega_i$ pour tout entier naturel $i$, avec $1 \leq i \leq n$.

Propriété :
Dans une succession de $n$ épreuves indépendantes, la probabilité d’une issue $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est égale au produit des probabilités des issues de ses composantes $x_1, \dots, x_n$.

Ainsi, on a : $P(x_1, \dots, x_n) = P(x_1) \times \dots \times P(x_n)$.

II. Exemple

On lance un dé tétraédrique équilibré dont les quatre sommets sont numérotés $1, 2, 3, 4$.
L’univers de cette expérience aléatoire est $\Omega_1 = \{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$.

Puis, on tire au hasard un jeton dans un sac contenant un jeton $A$ et deux jetons $B$.
L’univers de cette seconde expérience aléatoire est $\Omega_2 = \{A ; B\}$.

Voici la loi de probabilité de chacune de ces deux épreuves :

$\circ\quad$ Pour le dé tétraédrique équilibré : $P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = \dfrac{1}{4}$.

$\circ\quad$Pour le tirage de jetons dans le sac contenant un jeton $A$ et deux jetons $B$ :
$P(A) = \dfrac{1}{3}$, $P(B) = \dfrac{2}{3}$.

L’univers de la succession de ces deux épreuves indépendantes est donné par :
$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 = \{(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B), (4, A), (4, B)\}$.

Pour représenter ces issues sous forme d’un arbre de probabilité, voici comment il se construit :

Première épreuve : lancer du dé tétraédrique

Les branches correspondent aux quatre résultats possibles : $1, 2, 3, 4$.

Chaque branche a une probabilité de $\dfrac{1}{4}$.

Deuxième épreuve : tirage du jeton

À partir de chaque résultat du dé, on tire soit $A$, soit $B$.

Probabilité d’obtenir $A$ : $\dfrac{1}{3}$.

Probabilité d’obtenir $B$ : $\dfrac{2}{3}$.

L’arbre des probabilités est donc structuré ainsi :

Par exemple :
$P(1 ; A) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$
$P(3 ; A) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$

D’où la loi de probabilité de la succession de ces épreuves indépendantes :

Rappel : Bien vérifier son énoncé afin de savoir si les épreuves sont indépendantes. Si tel n'est pas le cas, on parle de probabilité conditionnelle, et lors d'une représentation de l'expérience à l'aide d'un arbre, les probabilités lues aux nœuds secondaires sont des probabilités conditionnelles.