Rappels sur la notion de variable aléatoire

I. Expérience aléatoire et probabilité

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience ayant plusieurs issues possibles (ces issues sont également appelées "éventualités") et dont on ne peut pas prévoir à l'avance laquelle de ces issues sera réalisée.
Chaque issue est un événement dit élémentaire.

L'univers des possibles de l'expérience, noté $\Omega$, est l'ensemble de tous les résultats possibles $e_i$ d'une expérience aléatoire : $\Omega = \{e_1, e_2, e_3, \dots, e_n\}$.

Loi de probabilité : définition

On définit alors une loi de probabilité sur $\Omega$ en associant une probabilité $p_i = p(e_i)$
à chacune des $n$ issues de $\Omega$, et telle que :

${\boxed{0 \leq p_i \leq 1 \text{ et } p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1}}$.

À retenir : la loi de probabilité est associée à l'expérience choisie ; on peut donc définir plusieurs lois de probabilité sur un même univers.

 Définition : Une loi est dite équirépartie (ou équiprobable) lorsque toutes les issues ont la même probabilité d’être obtenues.

Evénement : définition

Un événement est une partie de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

Définition :
La probabilité d’un événement $E$, notée $P(E)$, est la somme des probabilités des issues qui réalisent $E$.

Propriétés :

$\circ\quad$La probabilité d’un événement est toujours comprise entre $0$ et $1$ : $0 \leq P(E) \leq 1$.

$\circ\quad$Si $\Omega$ est l’ensemble des issues, alors la probabilité de l’événement certain est égale à $1$ : $P(\Omega) = 1$.

$\circ\quad$La probabilité de l’événement impossible est égale à $0$ : $P(\varnothing) = 0$.

II. Variable aléatoire

Définition :
Soit $\Omega$ l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Le nombre d’issues de $\Omega$ est fini.
Définir une variable aléatoire sur $\Omega$, c’est associer à chaque issue de $\Omega$ un nombre réel.

On peut donc définir une variable aléatoire comme une fonction :
$X : \Omega \to \mathbb{R}$.

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ :

$\circ\quad$ L’événement « $X$ prend la valeur $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe le réel $x$, noté : $P(X = x)$.

$\circ\quad$L’événement « $X$ prend des valeurs supérieures ou égales à $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe un réel supérieur ou égal à $x$, noté :
$P(X \geq x)$.

$\circ\quad$ L’événement « $X$ prend des valeurs inférieures ou égales à $x$ » est l’ensemble des issues de $\Omega$ auxquelles on associe un réel inférieur ou égal à $x$, noté : $P(X \leq x)$.

III. Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Définition :
Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$, c’est associer à chaque valeur $x_i$ prise par $X$ la probabilité $p_i = P(X = x_i)$ de l’événement $X = x_i$.

La loi de probabilité de $X$ peut être représentée sous forme de tableau :

IV. Un exemple

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 3 bleues (B), 2 rouges (R), et 1 jaune (J).
On définit un jeu de la façon suivante : le joueur tire une boule.

$\circ\quad$ Si la boule est bleue, il perd 1 point.

$\circ\quad$ Si la boule est rouge, il gagne 1 point.

$\circ\quad$ Si la boule est jaune, il gagne 3 points.

On a $\Omega = \{B, R, J\}$

$p(B) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $p(R) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ; $p(J) = \dfrac{1}{6}$

Soit $X$ la variable qui, à chaque issue, c'est-à-dire à chaque élément de $\Omega$, associe le nombre de points du joueur.
La variable $X$ ainsi définie est une variable aléatoire sur $\Omega$.

$X$ peut prendre 3 valeurs : -1, 1 et 3.
La probabilité que le joueur perde 1 point est $\dfrac{1}{2}$ et se note $p(X=-1) = \dfrac{1}{2}$.
La probabilité que le joueur gagne 1 point est $\dfrac{1}{3}$ et se note $p(X=1) = \dfrac{1}{3}$.
La probabilité que le joueur gagne 3 points est $\dfrac{1}{6}$ et se note $p(X=3) = \dfrac{1}{6}$.

Dans cet exemple la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut se présenter ainsi :

On peut calculer par exemple la probabilité des événements suivants :

$\circ\quad$"Le joueur gagne au plus 1 point" : cet événement s'écrit $X \leq 1$,
et on a $p(X \leq 1) = p(X=-1) + p(X=1)= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$

$\circ\quad$"Le joueur gagne au moins 1 point" : cet événement s'écrit $X \geq 1$,
et on a $p(X \geq 1) = p(X=1) + p(X=3)= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$.