Sens de variation d'une suite

Définitions :

$1.$ Une suite $(u_n)$ est croissante à partir d’un certain rang $p$ signifie que :
$\forall n \in \mathbb{N}, n \geq p, u_{n+1} \geq u_n$

$2.$ Une suite $(u_n)$ est décroissante à partir d’un certain rang $p$ signifie que :
$\forall n \in \mathbb{N}, n \geq p, u_{n+1} \leq u_n$

$3.$ Une suite $(u_n)$ est constante à partir d’un certain rang $p$ signifie que :
$\forall n \in \mathbb{N}, n \geq p, u_{n+1} = u_n$

Remarque :
Lorsque la suite est soit croissante, soit décroissante à partir d’un certain rang $p$, on dit qu’elle est monotone à partir du rang $p$.

Méthodes pour étudier le sens de variation d’une suite :

$1.$ Signe de $u_{n+1} - u_n$ :

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = 4n + 5$
Calculons :
$u_{n+1} - u_n = 4(n+1) + 5 - (4n + 5)$
$u_{n+1} - u_n = 4n + 4 + 5 - 4n - 5$
$u_{n+1} - u_n = 4 \gt 0$
Donc $u_{n+1} - u_n \gt 0 \implies (u_n)$ est croissante.

$2.$ Étude de $f$ qui donne $u_n = f(n)$ (uniquement pour les suites définies par une formule explicite) :
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = -2n + 5$. En posant $f(x) = -2x + 5$, on a bien $u_n = f(n)$.
$-2 \lt 0$, donc $f$ est décroissante, ce qui implique que $(u_n)$ est décroissante.

$3.$ On compare le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$. (ATTENTION : Tous les termes de la suite doivent être strictement positifs !)

Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = \dfrac{5}{2^n}$

Tous les termes de cette suite sont strictement positifs.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{5}{2^{n+1}}}{\dfrac{5}{2^n}} = \dfrac{5}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{5} = 2^{n-n-1} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} \lt 1$

Donc on a $u_{n+1} \lt u_n$.

Donc $\forall n \in \mathbb{N}, (u_n)$ est décroissante.