Notion de limite d'une suite

I. Suite ayant pour limite un nombre réel

Définition :

Une suite $(u_n)$ a pour limite un réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si les termes $u_n$ deviennent tous aussi proches de $l$ que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand.

On dit que $(u_n)$ converge vers $l$ et on note : $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = l$

Exemples :

Théorème : Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$,$\dfrac{1}{n^3}$ $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ convergent vers 0 et on note alors : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n = 0$

II. Suite ayant pour limite $+\infty$

Définition :

Une suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, si les termes $u_n$ deviennent tous aussi grands que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand.

On dit que $(u_n)$ diverge et on note : $\displaystyle\lim_{n\to + \infty} u_n = +\infty$

Exemple :

On observe que les termes successifs de $(u_n)$ sont de plus en plus grands.

Donc, on peut penser que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.

III. Suite ayant pour limite $-\infty$

Définition :

Une suite $(u_n)$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ si les termes $u_n$ deviennent tous aussi petits que l’on veut en prenant $n$ suffisamment grand.

On dit que $(u_n)$ diverge et on note : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$

Remarque : Petit ne signifie pas proche de $0$ mais négatif et grand en valeur absolue.

Par exemple, $-1\ 000\ 000$ est petit.

Exemple :

On observe que les termes successifs de $(u_n)$ sont de plus en plus petits.

Donc, on peut penser que $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} u_n = -\infty$.

IV. Suite n'admettant pas de limite

Certaines suites n’ont pas de limite. Dans ce cas, on dit que la suite diverge.

Diverger signifie « ne pas converger ».

Exemple :

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = (-1)^n$.

Les termes ne deviennent ni de plus en plus grands ni de plus en plus petits, ni se

rapprochent de plus en plus d’un réel. $u_n$ prend alternativement les valeurs −1 et 1.