Suite définie par un algorithme

Certaines suites sont définies par un algorithme, c'est-à-dire une série d'instructions qui permettent de calculer chaque terme de la suite. Voici un exemple simple :

I. Exemple : la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite célèbre définie par l'algorithme suivant :

Initialisation :

$u_0=0$

$u_1=1$

Calcul des termes suivants : Pour $n\ge 2, u_n=u_{n−1}+u_{n−2}$

Ainsi, les premiers termes de la suite de Fibonacci sont : $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...$

II. Algorithme en langage naturel de la suite de Fibonacci

Etape 1 : Initialisation

Définir le premier terme $u_0$ comme étant 0.

Définir le deuxième terme $u_1$​ comme étant 1.

Etape 2 : Calcul des termes suivants

Pour calculer le terme $u_n$ où $n$ est supérieur ou égal à 2 :

Additionner les deux termes précédents, c'est-à-dire $u_{n−1}$​ et $u_{n−2}$​.

Assigner cette somme comme valeur de $u_n$.

Répéter l'étape 2 pour chaque terme suivant jusqu'à atteindre le nombre de termes souhaité.

III. Explication des Étapes

Étape 1 : Initialisation

On commence par définir les deux premiers termes de la suite. Ces termes sont fixes et servent de point de départ pour calculer les termes suivants.

$u_0$=0 et $u_1=1$ sont les valeurs initiales de la suite de Fibonacci.

Étape 2 : Calcul des termes suivants

Pour chaque terme un​ où $n\ge 2$, on utilise les deux termes précédents pour le calculer.

La formule $u_n=u_{n−1}+u_{n−2}$​ signifie que chaque nouveau terme est la somme des deux termes qui le précèdent.

Par exemple, pour calculer $u_2$, on additionne $u_1$​ et $u_0​$ : $u_2=1+0=1$

Étape 3 : Répétition

On répète le processus de l'étape 2 pour chaque terme suivant jusqu'à ce qu'on ait calculé tous les termes souhaités de la suite.

Cette répétition permet de construire la suite de Fibonacci terme par terme.

Ce qui donne :

Pour calculer les premiers termes de la suite de Fibonacci :

$u_0=0$

$u_1=1$

$u_2=u_1+u_0=1+0=1$

$u_3=u_2+u_1=1+1=2$

$u_4=u_3+u_2=2+1=3$

$u_5=u_4+u_3=3+2=5$

Et ainsi de suite...

En suivant cet algorithme, vous pouvez calculer autant de termes de la suite de Fibonacci que vous le souhaitez.

IV. Code Python

nous pouvons l'implémenter en Python. Voici un exemple de code pour calculer les termes de la suite de Fibonacci :

Ce code définit une fonction fibonacci qui calcule le n-ième terme de la suite de Fibonacci, puis il affiche les 10 premiers termes de cette suite.