Représentation et lecture graphique

Certaines équations et inéquations se résolvent algébriquement. Grâce aux courbes représentatives des fonctions, il est ­également possible de les résoudre graphiquement.

I Définition

Repère
À noter

Les images se lisent sur l’axe des ordonnées ; les antécédents se lisent sur l’axe des abscisses.

On se place dans un repère (O ; I, J). La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)). Même si la représentation graphique de f est une droite, on parle de « courbe représentant f ».

II Application

Exemple : La courbe en rouge est la représentation graphique d’une fonction f.

Le nombre b a trois antécédents qui sont a1, a2 et a3. En effet :

f(a1) = f(a2) = f(a3) = b.

La courbe coupe l’axe des abscisses en trois points. Les abscisses de ces trois points sont z1, z2 et z3. On a donc f(z1) = f(z2) = f(z3) = 0.

Ainsi, sur l’intervalle [z1 ; a3], l’équation f(x) = 0 a trois solutions : z1, z2 et z3.

Les points dont les abscisses sont situées entre z1 et z2 ont des ordonnées négatives. Donc, pour tout x ∈ [z1, z2], f(x) ⩽ 0.

De même, pour tout x ∈ [z2, z3], f(x) ⩾ 0.

Autrement dit, on a :

• f(x) ⩾ 0 dans l’intervalle où la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses ;

• f(x) ⩽ 0 dans l’intervalle où la courbe est en dessous de l’axe des abscisses.

Ainsi, sur l’intervalle [z1 ; a3], on peut lire par exemple les solutions de l’inéquations f(x) ⩾ 0 ; ce sont les nombres appartenant à l’intervalle [z2 ; z3].

Lorsque la courbe coupe l’axe des ordonnées en un point C, l’ordonnée de C est égale à f(0).

Résoudre graphiquement une (in)équation

On considère deux fonctions f et g ainsi que leurs courbes représentatives. Celles-ci ont pour équations respectives y = f(x) et y = g(x).

a. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x) = g(x).

b. Déterminer graphiquement les solutions l’inéquation f(x) ⩾ g(x).

Repère
ConseilS

a. Repérez les points d’intersection des deux courbes.

b. Étudiez les positions des courbes l’une par rapport à l’autre.

solutionÀ noter

Dans l’intervalle où la courbe de f est ­au-dessus de celle de g, on a f(x) ⩾ g(x).

a. Le nombre de points d’intersection des courbes f et g fournit le nombre de solutions de l’équation. Sur la figure, l’équation a deux solutions qui sont les nombres a1 et a2.

b. Sur la figure, on voit que l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ⩾ g(x) est l’intervalle [a1, a2]. En effet, sur cet intervalle, la courbe représentant f est au-dessus de celle représentant g.