Notions de fonction, d'image et d'antécédent

Le concept de fonction a été largement étendu au cours des derniers siècles. Cet outil permet de modéliser des problèmes variés et de les résoudre.

I Notion de fonction numérique

Repère
À noter

f : x ↦ 5x – 3 se lit « x est transformé en 5x – 3 par f » ou « à x, f associe 5x – 3 ».

Une fonction numérique est une machine à transformer (c’est-à-dire à changer) les nombres selon un programme de calcul.

Exemple : Nommons f  l’algorithme ci-dessous. Alors, par f, le nombre 6,1 est transformé en 5 × 6,1 – 3, donc en 27,5.

Plus généralement, si x désigne un nombre, x est transformé en 5x – 3 par f.  On note : f : x ↦ 5x – 3.

II Image et antécédent

Une fonction f  transforme un nombre x en un nombre f(x) quand c’est possible.

• f(x) (lire « f de x ») s’appelle l’image de x par la fonction f.

• x s’appelle l’antécédent de f(x) (par la fonction f, évidemment).

Exemple : Soit f  la fonction x ↦ 5x – 3.

L’image de 1 est égale à 2 car f(1) = 5 × 1 – 3 = 2.

L’antécédent de –33,5 est égal à –6,1 car :

f(x) = –33,5 ⇔ 5x – 3 = –33,5 ⇔ 5x = –30,5 ⇔ x = –6,1.

Repère
À noter

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par f, mais il ne peut avoir qu’une image au maximum.

Soit x un nombre. Alors, ou bien x n’a pas d’image par f  (autrement dit, f(x) n’existe pas) ou bien x a une seule image par f.

Exemples : • Soit $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Le nombre 0 n’a pas d’image par f car l’inverse de 0 n’existe pas.

• Soit $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. Un nombre strictement négatif n’a pas d’image par f car sa ­racine carrée n’existe pas.

Soit y un nombre. Alors, ou bien y n’a pas d’antécédent par f ou bien y a au moins un antécédent par f.

Exemples : • Si f(x) = x², alors le nombre 16 a deux antécédents qui sont –4 et 4. En effet, (–4)² = 4² = 16.

• Si $f\left(x\right)=\frac{x–1}{x–3}$, alors le nombre 1 n’a pas d’antécédent car il n’existe aucun nombre x tel que $\frac{x–1}{x–3}=1$, ce qui est équivalent à x – 1 = x + 3.

1 Calculer une image

On considère la fonction f définie par f(x) = 1 – 3x².

a. Calculer les images des nombres 0, 1 et –2.

b. Que peut-on dire des images par f de deux nombres opposés ?

Repère
ConseilS

a. Calculez les nombres f(x) quand x prend les valeurs 0, 1 et –2.

b. Calculez par exemple f(4) et f(–4), f(10) et f(–10)… puis généralisez.

solution

a. f(0) = 1 donc l’image de 0 est le nombre 1.

f(1) = 1 – 3 × 1² = 1 – 3 = –2 donc l’image de 1 est le nombre –2.

À noter

Ne confondez pas –x² (toujours négatif) et (–x)² (toujours positif).

f(–2) = 1 – 3 × (–2)² = 1 – 3 × 4 = 1 – 12 = –11 donc l’image de –2 est le nombre –11.

b. f(–4) = 1 – 3(–4)² = 1 – 3 × 16 = –47 = f(4).

Pour tout x, on a : f(–x) = 1 – 3(–x)² = 1 – 3x² = f(x).

On voit donc que deux réels opposés ont la même image par f.

2 Calculer un antécédent

On considère la fonction f définie par f(x) = x² – 6x + 10.

Déterminer, s’il en existe, le ou les antécédents des nombres :

a. 10
b. 1
c. 0

conseilS

Pour chaque valeur, commencez par poser une équation du type f(x) = m, c’est-à-dire x² – 6x + 10 = m où m est la valeur 10 ; 1 ou 0.

solution

a. f(x) = 10 ⇔ x² – 6x + 10 = 10 ⇔ x² – 6x = 0 ⇔ x(x – 6) = 0.

On en déduit que x = 0 ou x = 6.

Le nombre 10 a donc deux antécédents qui sont 0 et 6.

b. f(x) = 1 ⇔ x² – 6x + 10 = 1 ⇔ x² – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)² = 0 ⇔ x = 3. Le nombre 1 a donc un unique antécédent qui est 3.

c. f(x) = 0 ⇔ x² – 6x + 9 + 1 = 0 ⇔ (x – 3)² + 1 = 0. Or (x – 3)² ⩾ 0, donc (x – 3)² + 1 ⩾ 1. On ne peut donc pas trouver de nombre x tel que :

(x – 3)² + 1 = 0. On en déduit que 0 n’a pas d’antécédent par f.