Les suites géométriques

Parmi les suites numériques, certaines suites sont particulières. Après avoir vu les suites arithmétiques, nous allons étudier les suites géométriques.

I. Exemples et définition

Exemple : 

Soit la suite $-1~,~+2~,~-4~,~+8~,~-16~,~+32~,\dots$. 

On passe d'un terme au suivant en multipliant par $-2$. On dit que cette suite est la suite géométrique de premier terme $-1$ et de raison (qui est la constante par laquelle on multiplie systématiquement) $-2$.

Définition : 

Une suite $(u)$ est une suite géométrique s'il existe un nombre $q$ tel que pour
tout entier $n$, on a : $u_{n+1}=q\,u_n$.
Le nombre $q$ est appelé raison de la suite.

Exemple : 

Soit la suite géométrique de premier terme $u_1=8$ et de raison $\dfrac 1 2$. Donner les $5$ premiers termes de la suite. 

$u_1=8$ 

$u_2=u_1\times \dfrac 1 2=8\times \dfrac 1 2=4$

$u_3=u_2\times \dfrac 1 2=4\times \dfrac 1 2=2$

$u_4=u_3\times \dfrac 1 2=2\times \dfrac 1 2=1$

$u_5=u_4\times \dfrac 1 2=1\times \dfrac 1 2=\dfrac 1 2$.

II. Forme explicite d'une suite géométrique

Dans l'exemple précédent, on a calculé les $5$ premiers termes. Si maintenant il est demandé de calculer $u_{100}$, cela va être très fastidieux.

Entre $u_1$ et $u_2$, on multiplie par $1$ fois la raison.

Entre $u_2$ et $u_3\,$, on multiplie par $1$ fois la raison. Donc entre $u_1$ et $u_3\,$, on multiplie par $2$ fois la raison. 

$u_3=u_1\times q\times q=u_1\times q^2=u_1\times q^{(3-1)}$ et de proche en proche on montre que 

$u_n=u_1\times q^{(n-1)}$. 

Mais si le premier terme de la suite s'appelle $u_0$, nous avons une multiplication par la raison supplémentaire et cela donne $u_n=u_0\times q^n$.

Afin de retenir facilement ce type de formule, on peut résumer les différentes formules en une seule :

Revenons à l'exemple. Je connais $u_1=8$ et la raison $q=\dfrac 1 2$. On me demande $u_{100}$.

$u_{100}=8\times \left(\dfrac 1 2\right)^{99}$ que l'on peut légèrement simplifier car $8=2^3$.

$u_{100}=2^3\times \dfrac{1}{2^{99}}= \dfrac{1}{2^{96}}$ que nous laissons sous cette forme. 

III. Sens de variation d'une suite géométrique

Soit $(u)$ une suite géométrique de raison $q$. Dans la suite de ce cours, nous allons nous intéresser aux suites géométriques à termes strictement positifs. 

• Si $0$ < $q$ < $1$ alors  pour tout $n$ , $u_{n+1}-u_n=qu_n-u_n=u_n(q-1)$ est le produit d'une quantité strictement positive $u_n$ avec $q-1$ qui est négatif. Le produit est donc négatif. On obtient : $u_{n+1}-u_n$ < $0$ et la suite $(u)$ est décroissante.
• On démontrerait de même que si $q$ > 1, alors la suite $(u)$ est croissante
• Et que si $q=1$, alors la suite est constante. 

Retenir : pour une suite géométrique $(u)$ à termes strictement positifs, 

IV. Représentation graphique

V. Un exemple classique : les intérêts composés

Les intérêts composés sont une formule dans laquelle la somme prise en compte pour le calcul des intérêts comprend les intérêts précédents, ceux qui ont été accumulés au cours des années précédentes.

Enoncé : 

Au 1^er janvier 2019, j'ai placé un capital de $30\,000$ euros sur un livret rémunéré à intérêts composés à un taux annuel de $3\%$. De quelle somme disposerai-je au 1^er janvier 2026 ?

Solution : 

Il se sera écoulé 7 années pleines.

Le coefficient multiplicateur correspondant à un taux de $3\%$ est égal à $1,03$.

Tous les ans le capital déposé doit être multiplié par $1,03$.

Au bout de $7$ ans, le capital sera multiplié par $1,03^7$, soit :

$30\,000\times 1,03^7\approx 36\,096,22$ euros.

Autre rédaction possible : 

Soit $C_0$ le capital (en euros) déposé en $2019$. On a : $C_0=30\,000$

La somme obtenue au bout d'un an, soit en $2020$, est :

$C_1=C_0+\dfrac{3}{100}\times C_0=C_0\,\left(1+\dfrac{3}{100}\right)$

$C_1=1,03\times C_0$

On démontrerait de même que pour toute valeur de $n$, $C_{n+1}=1,03\times C_n$

La suite $(C_n)$ est une suite géométrique de premier terme $C_0$ et de raison $1,03$.

On désire calculer $C_7$. 

$C_7=C_0\times 1,03^{(7-0)}=C_0\times 1,03^7$. 

On retrouve bien entendu le même résultat.