Les fonctions exponentielles

Les suites géométriques vont être prolongées, dans un premier temps sur les réels positifs, et dans un second temps sur les réels négatifs ; et ce afin de construire les fonctions exponentielles. 

I. Exemple de la fonction exponentielle de base 2

Il a été vu dans le cours concernant les suites géométriques, que la suite définie sur N par $u_n=2^n$ est la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $2$. Sa représentation est constituée des points de couleur bleue sur la représentation graphique ci-après.

Dans un premier temps, à tout $x$ réel positif, on associe une image, et on obtient une fonction $g$ telle que $g(x)=2^x$. Par exemple l'image de $3,5$ s'écrira $2^{3,5}$ qui vaut un peu plus de $11$ par lecture graphique. A la calculatrice, en tapant $2$ ^ $3,5$, on trouve $g(3,5)\approx 11,31$.

Dans un second temps, comme on a pu le faire au collège avec les puissances, on peut poser $2^{-0,5}=\dfrac{1}{2^{0,5}}\approx 0,71$ et on va étendre la définition aux réels négatifs.

II. Définition 

On appelle fonction exponentielle de base a strictement positive la fonction

$f : \textbf R \to ]0\;;\;+\infty[$

$x\mapsto a^x$

Exemples : A la calculatrice, $3,4^{1,7}\approx 8$ et $5,2^{-2,5}\approx 0,017$

III. Propriétés

Les propriétés sont analogues à celles connues depuis le collège sur les puissances entières.

Soit a un réel strictement positif, $x$ et $y$ des réels et $n$ un entier relatif.

• $a^0=1$
• $a^1=a$
• $a^x\times a^y=a^{x+y}$
• $a^{-y}=\dfrac{1}{a^y}$ et $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
• $\left(a^x\right)^n=a^{nx}$

Un cas particulier utile dans les exercices : 

$\left(a^{\dfrac 1 n}\right)^n=a^{\left(\dfrac 1 n \times n\right)}=a$ soit :

$\boxed{\left(a^{\dfrac 1 n}\right)^n=a~\text{ ou } ~\left(a^n\right)^{\frac 1 n}=a}$

Exemples : 

• $2^{1,5}\times 2^{-0,8}=2^{1,5-0,8}=2^{0,7}$
• $\left(3,2^{1,5}\right)^2=3,2^{1,5\times 2}=3,2^3$

IV. Variations

On retrouve des résultats analogues à ceux des suites géométriques à termes positifs.

• Si 0 < $a$ < 1, la fonction exponentielle de base $a$ est décroissante
• Si $a$ > 1, la fonction exponentielle de base $a$ est croissante
• Si $a=1$, la fonction exponentielle de base $a$ est constante.

V. Application : calculer un taux d'évolution moyen 

Définition : On appelle taux moyen de $n$ évolutions successives (non nécessairement identiques) le taux à appliquer successivement $n$ fois pour obtenir la même évolution globale.

Exemple : Au 1er janvier 2019, le S.M.I.C horaire était de 10,03 euros. Au 1er janvier 2024, soit après 5 ans, il est à 11,65 euros. 

1) Calculer le pourcentage d'augmentation global sur ces $5$ années.

2) Calculer le taux d'évolution moyen annuel.

Solution : 

1) Le coefficient multiplicateur correspondant est $\dfrac{11,65}{10,03}\approx 1,1615$.

Le pourcentage d'augmentation est donc de : $1,1615-1=0,1615$ soit $16,15\%$.

2) Soit $t$ ce taux d'évolution moyen annuel. Le coefficient multiplicateur correspondant annuel est donc de $1+\dfrac{t}{100}$. En 5 ans, le taux est donc de $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5$.

Soit à résoudre : $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5=1,1615$

$\left[\left(1+\dfrac{t}{100}\right)^5\right]^{\frac 1 5}=1,1615^{\dfrac 1 5}$

$1+\dfrac{t}{100}=1,1615^{\dfrac 1 5}$

$1+\dfrac{t}{100}\approx 1,0304$

$\dfrac{t}{100}\approx 0,0304$

$t\approx 3,04$

En 5 ans, le S.M.I.C horaire avait augmenté de $16,15\%$ ce qui correspond à une augmentation moyenne annuelle égale à $3,04\%$.