Les suites arithmétiques

I. Définition

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe $r \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r$
Le nombre $r$ est appelé raison de la suite.

Exemple : La liste des entiers naturels non nuls : $1 - 2 - 3 - 4 - 5$ (avec $r = 1$) est la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $1$.

Méthode :
Pour établir qu’une suite est arithmétique, on peut conjecturer en calculant $u_1 - u_0$, puis $u_2 - u_1$. Si on obtient à chaque fois le même nombre réel (la raison), alors la conjecture semble vraie. Mais il reste à le démontrer !

On calcule ensuite dans le cas général la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$, et on établit ainsi que cette différence est constante.

II. Terme général d’une suite arithmétique

Propriété :

Si l’on connaît la raison de la suite ainsi qu’un terme (ici, on prend le terme de rang $p$), alors nous pouvons calculer n’importe quel terme à partir de la formule suivante :

$\boxed{\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_p + (n - p)r}$

Remarque : dans la parenthèse devant la raison, apparaît tout simplement la différence des indices $n$ et $p$

En particulier :

• Si $p = 0$, on a : $u_n = u_0 + nr$

• Si $p = 1$, on a : $u_n = u_1 + (n - 1)r$

Démonstration :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

On a alors :

$u_1 = r + u_0$

$u_2 = r + u_1 = r + r + u_0 = 2r + u_0$

$u_3 = r + u_2 = r + 2r + u_0 = 3r + u_0$

$\vdots$

$u_n = n r + u_0$

Exemple :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

Alors, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = 5 + 3n$.

III. Sens de variation

Propriétés :

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $r$.

$\circ\quad$ Si r > 0, alors la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

$\circ\quad$ Si r < 0, alors la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

$\circ\quad$ Si $r = 0$, alors la suite $(u_n)$ est constante (stationnaire).

IV. Somme des premiers termes

$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{1er terme + dernier terme}}{2}$

En particulier, si $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n$, il y a $(n + 1)$ termes, et alors :
$S_n = (n + 1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}$

Exemple :
La somme des $n$ premiers entiers naturels est donnée par :

$1 + 2 + \dots + n = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Démonstration :

Soit $S_n$ la somme des $n$ premiers entiers :

$S_n = 1 + 2 + \dots + (n-1) + n$

Écrivons cette somme dans l'ordre inverse :

$S_n = n + (n-1) + \dots + 2 + 1$

En additionnant ces deux écritures membre à membre :

$2S_n = (n+1) + ((n-1)+2) + \dots + ((n-1)+2) + (n+1)$

On remarque qu'il y a $n$ termes égaux à $(n+1)$, donc :

$2S_n = n(n+1)$

D’où : $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

V. Comportement à l’infini

Propriétés :

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

$\circ\quad$ Si r > 0, alors : $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = +\infty$

$\circ\quad$ Si r < 0, alors : $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = -\infty$