I. Définitions
∘ Une suite (un) est majorée par un réel M lorsque, pour tout entier naturel n, un≤M.
On dit que M est un majorant de (un).
∘ Une suite (un) est minorée par un réel m lorsque, pour tout entier naturel n, un≥m.
On dit que m est un minorant de (un).
Une suite (un) est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
Attention : une suite majorée (respectivement minorée) admet une infinité de majorants (resp. minorants).
En effet si pour tout n de N, un≤4 alors un≤6,7 ou un≤104 ...
II. Pour aller plus loin : le théorème de convergence monotone
∘ Toute suite croissante et majorée converge.
∘ Toute suite décroissante et minorée converge.
Remarque : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite.
Théorème :
∘ Toute suite croissante et non majorée diverge.
∘ Toute suite décroissante et non minorée diverge.
III. Exemple
Soit la suite définie sur N∗ par un=2−1n.
Etudier les variations de (un). Peut-elle être convergente ?
Solution :
∀n∈N∗ , un+1−un=(2−1n+1)−(2−1n)
∀n∈N∗ , un+1−un=1n−1n+1
∀n∈N∗ , un+1−un=nn(n+1)=1n+1>0 puisque n est un entier naturel non nul.
La suite (un) est donc croissante.
Or, ∀n∈N∗, un<2.
D'après le théorème de convergence monotone, on peut affirmer que la suite (un) est convergente.