Les démonstrations de la dérivabilité des fonctions sinus et cosinus

Les représentations graphiques nous laissent penser que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $R$.

On désire démontrer que :

La fonction sinus est dérivable sur $R$ et pour tout réel $x$ on a $\sin'(x)=\cos x$.

La fonction cosinus est dérivable sur $R$ et pour tout réel $x$ on a $\cos'(x)=-\sin x$.

Tout d'abord montrons la propriété suivante :

$\circ\quad \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$.
$\circ\quad \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x} = 0$.

Démonstration :
On va dans un premier temps choisir un réel $x$ dans l'intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$.
On appelle :
$\circ\quad M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$;
$\circ\quad C$ le point d'axe des abscisses d'abscisse $\cos x$;
$\circ\quad S$ le point d'axe des ordonnées d'ordonnée $\sin x$;
$\circ\quad T$ le point de la demi-droite $[OM)$ tel que $OTI$ soit rectangle en $I$.

On a donc $OC=\cos x$, $OS=\sin x$ et $OT=\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
L'aire du triangle $OMI$ est $\dfrac{\sin x}{2}$.
L'aire du secteur angulaire $\widehat{[IOM]}$ est $\dfrac{x}{2}$.
L'aire du triangle $OIT$ est $\dfrac{\tan x}{2}$.

On a donc $\dfrac{\sin x}{2} \leqslant \dfrac{x}{2} \leqslant \dfrac{\tan x}{2}$ soit $\sin x \leqslant x \leqslant \tan x$.
La quantité $\sin x$ étant strictement positive, en passant à l'inverse on obtient $\dfrac{1}{\sin x}\geqslant \dfrac{1}{x} \geqslant \dfrac{\cos x}{\sin x}$ ; puis on multiplie les deux inégalités par $\sin x$ : $1\geqslant \dfrac{\sin x}{x}\geqslant \cos x$.

Or $\lim\limits_{x \to 0^+} \cos x = 1$. D'après le théorème des gendarmes, on a $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1$. Puisque la fonction sinus est impaire, on a aussi $\lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} = 1$.

Pour pouvoir conclure, il nous reste à montrer que la fonction sinus est continue en $0$.
On a vu que $\sin x \leqslant x \leqslant \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
Sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a $\sin x\gt 0$ donc $0\lt\sin x \lt x$.

D'après le théorème des gendarmes, on a donc $\lim\limits_{x \to 0^+}\sin x = 0$. La fonction sinus étant impaire, on a également $\lim\limits_{x \to 0^-}\sin x = 0$.
Comme $\sin 0 = 0$, la fonction sinus est continue en $0$.

On sait donc que la fonction sinus est continue en $0$ et que $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{\sin x}{x} = 1$.

Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$.

$\phantom{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}} = \sin x \dfrac{\cos h-1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h}$.

Par conséquent $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} \times \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{\cos x+1} = 1\times 0=0$.

Remarque : On peut écrire $\dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{\sin x - \sin 0}{x - 0}$. Il s'agit donc du taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$. Ainsi $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = \sin'(0)=1$.

De même $\dfrac{\cos x-1}{x}=\dfrac{\cos x-\cos 0}{x-0}$. Il s'agit du taux d'accroissement de la fonction cosinus en $0$. Ainsi $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\cos x-1}{x} = \cos'(0)=0$.

Regardons le taux d'accroissement de la fonction sinus en $x$. Soit $h$ un réel.

$\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h - \sin x}{h}$
$\phantom{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}} = \dfrac{\sin x\left(\cos h-1\right) + \cos x \sin h}{h}$
$\phantom{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}} = \sin x \dfrac{\cos h-1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h}.$

Or on a vu que $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin h}{h} = 1$ et $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\cos h-1}{h} = 0$.

Par conséquent : $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \cos x$.

On procède de la même façon en calculant le taux d'accroissement de la fonction cosinus en $x$. Soit $h$ un réel.

$\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} = \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$
$\phantom{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}} = \dfrac{\sin x\left(\cos h-1\right) + \cos x \sin h}{h}$
$\phantom{\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}} = \sin x \dfrac{\cos h-1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h}.$

Par conséquent : $\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = -\sin x$.

Merci à Eh01 et Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette contribution.