Exemples de résolution d'équations trigonométriques
Signaler
Remarque importante : pour ce type d'équations, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.
Équation cosinus dans R
cosU=cosV équivaut à dire U=V+k2π ou U=−V+k′2π avec k et k′ dans Z. Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de cosinus.
Exercice 1
Résoudre dans R l'équation d'inconnue x,cos(2x)=23.
Étape 1 : Utiliser le cercle trigonométrique et/ou le tableau de valeurs remarquables afin de retrouver une valeur dont le cosinus vaut 23. Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, on peut dire que 23 est le cosinus de 6π par exemple.
Étape 2 : Utiliser ce résultat pour écrire l'équation proposée sous la forme "cosU=cosV". L'équation proposée revient donc à écrire : x∈R,;cos(2x)=cos(6π).
On applique alors la propriété rappelée ci-dessus : cos(2x)=cos(6π)⟺2x=6π+k2π ou 2x=−6π+k′2π avec k et k′ dans Z.
Étape 3 : Terminer les calculs si besoin. Je divise par 2 chaque membre de chaque égalité : x=12π+kπ ou x=−12π+k′π avec k et k′ dans Z.
Étape 4 : Conclure. L'énoncé demandait les solutions dans R. On obtient pour ensemble solution : S={12π+kπ,−12π+k′π,(k,k′)∈Z2}.
Exercice 2
Résoudre dans ]−π;;π] l'équation d'inconnue x,cos(2x)=23.
Toute la démarche est la même, seul l'ensemble solution va être modifié.
Étapes 1-2-3 réunies : x=12π+kπ ou x=−12π+k′π avec k et k′ dans Z.
Étape 4 :Garder uniquement les valeurs de x dans l'intervalle ]−π;π].
Pour la première série de valeurs :
Pour k=−1, 12π−π=12−11π, convient ✓.
Pour k=0, 12π, convient ✓.
Pour k=1, 12π+π=1213π, ne convient pas.
Pour la deuxième série de valeurs :
Pour k′=0, −12π, convient ✓.
Pour k′=1, −12π+π=1211π, convient ✓.
L'ensemble solution est donc : S={−1211π,−12π,12π,1211π}.
Équation sinus dans R
sinU=sinV équivaut à dire U=V+k2π ou U=π−V+k′2π avec k et k′ dans Z. Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.
Exercice 3
Résoudre dans [0,;π[ l'équation d'inconnue x telle que sin(5x)=cos(x).
Étape 1 : Transformer l'équation. Sur le cercle trigonométrique, on retrouve que cos(x)=sin(2π+x). L'équation devient sin(5x)=sin(2π+x).
Étape 2 : Résoudre dans R. sin(5x)=sin(2π+x)⟺5x=2π+x+k2π ou 5x=π−(2π+x)+k′2π. En simplifiant : 4x=2π+k2π ou 6x=2π+k′2π. x=8π+k2π ou x=12π+k′3π.
Étape 3 : Garder uniquement les solutions dans [0,;π[. Pour la première série de valeurs :
L'ensemble solution est donc : S={12π,8π,125π,85π,43π}.
Équation tangente dans R
tanU=tanV équivaut à dire U=V+kπ avec k dans Z. Ce type d'équation se traite de la même manière que les précédentes, une fois le principe compris, et ne pose aucun problème particulier.
Merci à Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.