Le cercle trigonométrique

Signaler
Ce fichier peut être une ressource intéressante en terminale puis également pour les classes ultérieures en fonction des nouvelles notions abordées.
Toutes les formules concernant la tangente et la cotangente sous-entendent que celles-ci sont définies.

Il est intéressant de savoir retrouver certains résultats sur le cercle trigonométrique. Un exemple en est donné ci-après pour la formule cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x

Le cosinus de xx est représenté en rouge sur l'axe des abscisses.
Le sinus de x est représenté en bleu (axe des ordonnées, valeur positive ici), le cosinus de π2+x\dfrac{\pi}{2}+x est représenté en pointillés bleus (axe des abscisses, valeur négative dans le cas de cet exemple).
picture-in-text

Les valeurs remarquables


picture-in-text
Elles sont à connaître sans hésitation, et peuvent avec l'habitude être "lues" très vite sur le cercle trigonométrique.

Résultats à savoir retrouver sur le cercle trigonométrique :
Soit x un réel.
−1⩽sin⁡x⩽1 et −1⩽cos⁡x⩽1-1 \leqslant \sin x \leqslant 1 \text{ et } -1 \leqslant \cos x \leqslant 1
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1
cos⁡(−x)=cos⁡x et sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x) = \cos x \text{ et } \sin(-x) = -\sin x
cos⁡(π−x)=−cos⁡x et sin⁡(π−x)=sin⁡x\cos(\pi-x) = -\cos x \text{ et } \sin(\pi-x) = \sin x
cos⁡(π+x)=−cos⁡x et sin⁡(π+x)=−sin⁡x\cos(\pi+x) = -\cos x \text{ et } \sin(\pi+x) = -\sin x
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x et sin⁡(π2+x)=cos⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x \text{ et } \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = \cos x
cos⁡(π2−x)=sin⁡x et sin⁡(π2−x)=cos⁡x\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \text{ et } \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \cos x
picture-in-text

On peut également sur un cercle trigonométrique faire apparaître les valeurs de tan⁡x\tan x et de cotanx=1tan⁡x\text{cotan} x = \dfrac{1}{\tan x}, et ainsi retrouver certaines formules.
picture-in-text

Résultats qu'il est possible de retrouver sur le cercle trigonométrique :
tan⁡(x+2π)=tan⁡x\tan(x+2\pi) = \tan x
tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x+\pi) = \tan x
tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x
tan⁡(π−x)=−tan⁡x\tan(\pi-x) = -\tan x
tan⁡(π2−x)=cotan,x\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \text{cotan},x
tan⁡(π2+x)=−cotan,x\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\text{cotan},x
cotan(π2−x)=tan⁡x\text{cotan}\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \tan x
cotan(π2+x)=−tan⁡x\text{cotan}\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\tan x
Remarque :
1+tan⁡2a=1cos⁡2a1+\tan^2 a = \dfrac{1}{\cos^2 a}
1+cotan2a=1sin⁡2a1+\text{cotan}^2 a = \dfrac{1}{\sin^2 a}

Autres formules : Les formules d'addition


Soit a et b deux réels.
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}
tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1+\tan a \tan b}

Les formules de duplication :

sin⁡(2a)=2cos⁡asin⁡a\sin(2a) = 2\cos a \sin a
cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a
tan⁡(2a)=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan(2a) = \dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a}
Extensions :
cos⁡(3a)=4cos⁡3a−3cos⁡a\cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a
sin⁡(3a)=3sin⁡a−4sin⁡3a\sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a
tan⁡(3a)=3tan⁡a−tan⁡3a1−3tan⁡2a\tan(3a) = \dfrac{3\tan a - \tan^3 a}{1 - 3\tan^2 a}

Les formules de linéarisation :

cos⁡2a=1+cos⁡(2a)2\cos^2 a = \dfrac{1+\cos(2a)}{2}
sin⁡2a=1−cos⁡(2a)2\sin^2 a = \dfrac{1-\cos(2a)}{2}
tan⁡2a=1−cos⁡(2a)1+cos⁡(2a)\tan^2 a = \dfrac{1-\cos(2a)}{1+\cos(2a)}

cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)]\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]
cos⁡asin⁡b=12[sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)]\cos a \sin b = \dfrac{1}{2}[\sin(a+b) - \sin(a-b)]
sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a-b) - \cos(a+b)]

On peut en déduire :
cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2\cos p + \cos q = 2\cos \dfrac{p+q}{2}\cos \dfrac{p-q}{2}
cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2\cos p - \cos q = -2\sin \dfrac{p+q}{2}\sin \dfrac{p-q}{2}
sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2\sin \dfrac{p+q}{2}\cos \dfrac{p-q}{2}
sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2\sin p - \sin q = 2\cos \dfrac{p+q}{2}\sin \dfrac{p-q}{2}

Les formules en fonction de t=tan⁡a2t = \tan\dfrac{a}{2}

cos⁡a=1−t21+t2\cos a = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}
sin⁡a=2t1+t2\sin a = \dfrac{2t}{1+t^2}
tan⁡a=2t1−t2\tan a = \dfrac{2t}{1-t^2}

Le cercle trigonométrique et la résolution d'équations

Équation cosinus dans R\mathbb{R} :

picture-in-text
cos⁡U=cos⁡V\cos U = \cos V équivaut à dire U=V+k2πU = V + k2\pi ou U=−V+k′2πU = -V + k'2\pi avec kk et k′k' dans Z\mathbb{Z}.
Remarque importante : Pour ce type d'équations, comme pour les suivantes, il ne faut pas oublier l'ensemble dans lequel les solutions sont demandées.

Équation sinus dans R\mathbb{R} :

picture-in-text

sin⁡U=sin⁡V\sin U = \sin V équivaut à dire U=V+k2πU = V + k2\pi ou U=π−V+k′2πU = \pi - V + k'2\pi avec kk et k′k' dans Z\mathbb{Z}.

Équation tangente dans R\mathbb{R} :

picture-in-text

tan⁡U=tan⁡V\tan U = \tan V équivaut à dire U=V+kπU = V + k\pi avec kk dans Z\mathbb{Z}.


Merci à Malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche.
Leçon précédente
Fonctions trigonométriques
Leçon suivante
Exemples de résolution d'équations trigonométriques