I. Résolution de l’équation différentielle y′ = ay où a est une constante réelle
Les solutions de l’équation différentielle y′ = ay ou dydx = ay sont les fonctions définies sur ℝ par :
x ↦ keax, où k est une constante réelle quelconque.
L’équation différentielle y′ = ay ou dydx = ay admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.
Exemple
On considère l’équation différentielle (E) : y′=34y, dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x définie et dérivable sur ℝ et y′ la fonction dérivée de y.
• Toutes les solutions de (E) sont donc définies sur ℝ par : f(x)=ke34x, où k est une constante réelle quelconque.
• Déterminons la solution particulière f de (E) qui vérifie f′(0) = – 6.
Pour tout x de ℝ, f′(x)=k34e34x.
(eu)′ = u′eu.
f′(0) = 6 se traduit par : 34ke0= 6 ; e0 = 1, donc 34k=6 ; k = 8.
La solution cherchée est définie sur ℝ par : f(x)=8e34x.
II. Résolution de l’équation différentielle y′ = ay + b où a et b sont des constantes
Les solutions de l’équation différentielle y’ = ay + b ou dydx = ay + b sont les fonctions définies sur ℝ par :
x↦keax−ba, où k est une constante réelle quelconque.
L’équation différentielle y′ = ay + b ou dydx = ay + b admet une solution f, et une seule, définie sur ℝ, vérifiant la condition initiale f(x0) = y0, où x0 et y0 sont donnés.
Exemple
La modélisation d’un phénomène physique conduit à l’équation différentielle (E) : 2y′ + y = 12, où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur ℝ et y′ est la fonction dérivée de y.
• L’équation différentielle (E) s’écrit : y’=−12y+14. C’est une équation de la forme y′ = ay + b, avec a=−12 et b=14.
Les solutions sont donc définies sur ℝ par : x↦keax−ba=ke– 12x−14−12=ke– 12x+12, où k est une constante réelle quelconque.
• Déterminons la solution particulière ϕ de (E) qui vérifie ϕ(0) = 0.
ϕ(0) = 0 se traduit par :
ke0+12=0 ; k+12=0 ; k=–12.
ϕ est définie par : φ(x)=–12e– 12x+12.