I. Nombre dérivé ; fonction dérivée
1) Définitions (rappels)
Définition et notation du nombre dérivé
Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d’abscisse a.
• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.
• Le nombre dérivé de f en a est noté f′(a).
Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée
• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.
• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s’appelle fonction dérivée de f et se note f′.
2) Dérivées des fonctions usuelles (rappels)
Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».
ℕ* désigne l’ensemble des nombres entiers strictement positifs.
3) Opérations sur les fonctions dérivables (rappels)
Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : f(x)=x+1x ;
pour tout x de [1, 10], f'(x)=1–1x2.
On utilise
,
et
.
2. Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : g(x)=34(x+1x) ;
pour tout x de ]0, + ∞[, g′(x)=34(1–1x2).
On utilise
et le 1°.
3. Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x) = (3x + 1) (– x + 2) ;
pour tout x de ℝ, h′(x) = 3(– x + 2) + (3x + 1) (– 1) ; h′(x) = – 6x + 5.
On utilise
et
.
4. Soit i la fonction définie sur ℝ par : i(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 7 ;
pour tout x de ℝ, i′(x) = 4(3x2) – 7 (2x) + 2 ; i′(x) = 12x2 – 14x + 2.
On utilise
,
et
.
5. Soit j la fonction définie sur [0, 10] par : j(x)=2x+13x+4.
Pour tout x de [0, 10], j′(x)=(2)(3x+4)–(2x+1)(3)(3x+4)2 ; j′(x)=5(3x+4)2.
On utilise
et
.
6. Soit k la fonction définie sur ℝ par :
k(t)=sin3t+π4+cos2t+π6.
Pour tout t de ℝ, k′(t)=3cos3t+π4−2sin2t+π6.
On utilise
,
et
.
7. Soit l la fonction définie sur ℝ par : lx=2x−1ex.
Pour tout x de ℝ, l′x=2ex+2x−1 ex=2+2x−1 ex, l′x=2x+1 ex.
On utilise
,
, et
.
4) Dérivées des fonctions composées usuelles
Dans ce qui suit, u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : fx=7x+12 ; pour tout x de ℝ, f′x=277x+12−1=147x+1.
On a utilisé
et
.
2. Soit g la fonction définie sur 12, + ∞ par gx=32x–12. La fonction g est de la forme : g=3u–2 où u est définie sur 12, + ∞ par : ux=2x–1.
Donc g′x=3×–2×u–3, d’après le résultat
. u′x=2 donc g′x=– 62x–1–3=– 62x–13.
3. Soit h la fonction définie sur ℝ par ht=2t+3 e–2t+12. La fonction h est le produit des deux fonctions v et w définies sur ℝ par vt=2t+3 et wt=e–2t+12. Donc h′t=v′t×wt+vt×w′t, d’après le résultat
. v′t=2 et, comme wt=eut avec ut=2t+12, donc u′t=−2, on a : w′t=u′t×eut=−2e−2t+12, d’après le résultat
.
Donc h′t=2×e−2t+12+2t+3×−2e−2t+12.
h′t=2×e−2t+12−4t e−2t+12−6e−2t+12=−4−4t e−2t+12.
4. Soit k la fonction définie sur −13, + ∞ par kt=ln3t+1. On a kt=lnut avec ut=3t+1. On a u′t=3. D’après le résultat
, on a k′t=u′tut=33t+1.
5) Sens de variation d’une fonction
Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.
Si f est dérivable sur l’intervalle I et si la dérivée f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
II. Primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle
1) Ensemble des primitives d’une fonction dérivable sur un intervalle
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F′ = f.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.
Toutes les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle.
Exemple
Soit f une fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x2 – 2.
Une primitive de f est définie sur ℝ par g(x) = x3 – 2x.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
F(x) = x3 – 2x + C où C est une constante réelle quelconque.
Vérifier que, pour tout x de ℝ, g′x=fx
2) Primitives des fonctions usuelles
F donne la forme générale des primitives sur un intervalle I de la fonction f. C est une constante réelle quelconque.
3) Primitives d’une somme de fonctions, d’un produit d’une fonction par un nombre réel
Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur un intervalle I, et si a est un nombre réel, alors aF est une primitive de af sur I.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –3t + 2.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
F(t)=−3(12t2)+2t+C, F(t)=−32t2+2t+C, où C est une constante réelle quelconque.
• La variable est t.
• On utilise
,
,
et
.
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –2x2 + 4x + 5.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
F(x)=−2(13x3)+4(12x2)+5x+C, F(x)=−23x3+2x2+5x+C,
où C est une constante réelle quelconque.
On utilise
,
et
.
3. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 2 sin 3x – cos 4x.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par : f(x)=2− 13cos 3x −14sin 4x +C, où C est une constante réelle quelconque ; f(x)=− 23cos 3x− 14sin 4x+C.
On utilise
,
et
.
Remarque
Lorsqu’on dispose d’une calculatrice équipée d’un logiciel de calcul formel, on peut vérifier les calculs de primitives et de dérivées.
4) Primitives de fonctions composées
Dans les formules suivantes, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et C une constante réelle quelconque.
Exemples
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 4 (4x + 1)2.
f(x) est de la forme u′(x)[u(x)]n, avec u(x) = 4x + 1, donc u′(x) = 4 et n = 2.
Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :
F(x)=12+1(4x+1)2+1+C ; G(x)=13(4x+1)3+C,
où C est une constante réelle quelconque.
2. Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)=x(x2+1)2.
On utilise
.
g(x) ressemble à u′(x)[u(x)]2. On pose alors u(x) = x2 + 1, donc u′(x) = 2x.
On peut transformer l’écriture de g(x) : g(x)=122x(x2+1)2.
Toutes les primitives de g sont donc définies sur ℝ par : G(x)=12− 1x2+1 +C, où C est une constante réelle quelconque ;
G(x)=−12(x2+1)+C, où C est une constante réelle quelconque.
3. Soit h la fonction définie sur ]– 3, + ∞[ par f(x)=1x+3.
Dans le crochet de la page précédente on fait apparaître « exactement » u′(x)[u(x)]2. On utilise
.
En posant u(x) = x + 3, nous avons u′(x) = 1, et h(x)=u′(x)u(x). Pour tout x de ]– 3, + ∞[, u(x) > 0.
Les primitives de f sur ]– 3, + ∞[ sont donc définies par H(x) = ln (x + 3) + C où C est une constante réelle. (On utilise
).
4. Déterminons les primitives de la fonction i définie sur ℝ par i(x) = e3x.
i « ressemble à » u′eu avec u(x) = 3x et u′(x) = 3.
Nous sommes donc conduits à écrire : i(x)=13(3e3x).
Les primitives de f sont donc définies sur ℝ par I(x)=13e3x+C où C est une constante réelle quelconque.
III. Intégrale d’une fonction
1) Définition de l’intégrale
Soit f une fonction de signe quelconque définie sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments de I.
On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) – F(a).
On note : ∫abf(x)dx=F(b)–F(a).
On lit : « somme de a et b de fx dx.
On écrit aussi : ∫abf(x)dx=[F(x)]ab.
Exemples
• ∫ 12(2x+1)dx=[x2+x]12=6−2=4.
• ∫ 02(3x2+2x)dx=[x3+x2]02=8+4=12.
• ∫ 1e1tdt=[ln t]1e=lne–ln 1=1.
• ∫ 211t2dt=[−1t]21=− 1+12=− 12.
• ∫ 0ln2e3xdx=[13e3x]0ln2=13e3ln2−13=13eln23−13=13eln8−13=83−13=73.
• ∫ 0π4sintdt= [– cost]0π4=−22+1.
2) Propriétés de l’intégrale
I désigne un intervalle de ℝ, f et g des fonctions définies et positives sur I et a, b et c des éléments de I.
Linéarité
Pour tous nombres réels α et β :
∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx.
Positivité
Si a ⩽ b et f(x) ⩾ 0 sur [a, b], alors ∫abf(x)dx≥0.
Croissance
Si fx≥gx pour tout x de a,b, alors ∫abfx dx≥∫abgx dx.
Relation de Chasles
∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx.
3) Valeur moyenne d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I ; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.
On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel :
Vm=1b−a∫abf(x)dx.
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0, π2] par f(x) = sin 2x.
La valeur moyenne de f sur [0, π2] est : Vm=1π2–0∫ 0π2sin2xdx.
Une primitive de x ↦ sin 2x est x↦− 12 cos2x.
Voir le résultat
du paragraphe ➁B.
D’où Vm=2π[– 12 cos 2x]0π2 ; Vm=2π[– 12 cos π−(−12cos 0)] ;
cos π = – 1 et cos 0 = 1 ; d’où Vm=2π(12+12)=2π.
IV. Intégrale fonction de sa borne supérieure
La fonction x↦∫axft dt est l’unique primitive de f sur a,b prenant la valeur 0 pour x = a.
V. Calculs d’aire
1) f positive sur [a, b]
Soit f une fonction positive sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan, ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :
a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x), est : 𝒜 = ∫abfxdx.
Exemple
On considère la courbe représentative H de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par : f(x)=1x.
L’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par la courbe H, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = 3 est A=∫ 131x dx (puisque 1x>0 sur [1, 3]).
A=[lnx]13=ln3–ln1=ln3–0=ln3 ≈ 1,1 unité d’aire.
Vérifier toujours sur la figure l’ordre de grandeur du résultat d’un calcul d’aire en « comptant les carreaux ».
2) f est négative sur [a, b]
Soit f une fonction négative sur un intervalle [a, b]. L’aire 𝒜, en unités d’aire, de la partie du plan ensemble des points M de coordonnées x et y telles que :
a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ 0,
est : 𝒜 = – ∫abfxdx (attention au signe moins).
3) Aire limitée par deux courbes représentatives
Soient f et g deux fonctions telles que pour tout x de [a, b], g(x) ≤ f(x). L’aire A, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites d’équations respectives x = a et x = b est :
𝒜 = ∫abfx−gxdx
Exemple
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i→, j→) unité : 1 cm sur chaque axe. Sur la figure, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par f(x)=x+1x. La droite ∆ d’équation y = x est une asymptote de C.
Calculons l’aire en cm2 de la partie limitée par C, ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 2.
Les deux fonctions g : x ↦ x et f : x↦x+1x sont telles que pour tout x de [1, 2] g(x) ⩽ f(x). D’où l’aire cherchée est :
A=∫12[f(x)–g(x)]dx=∫121xdx=[lnx]12 ; A=(ln2)cm2≈0,7 cm2.
4) Exemples d’unités d’aire
L’aire 𝒜 considérée dans les résultats des paragraphes A, B, C ci-dessus est exprimée en unités d’aire.
Dans un repère orthonormé (O ; i→, j→) l’unité d’aire est l’aire du carré défini par les vecteurs unitaires OI→ et OJ→ du repère.
Si sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées l’unité choisie est 1 cm, alors l’unité d’aire est 1 cm2 ; si l’unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l’unité d’aire est 4 cm2.
Dans un repère orthogonal (O ; i→, j→) l’unité d’aire est l’aire du rectangle défini par les vecteurs unitaires OI→ et OJ→ du repère.
Si l’unité choisie sur l’axe des abscisses est 2 cm et si l’unité sur l’axe des ordonnées est 1 cm, alors l’unité d’aire est 2 cm2.
