Différentes écritures d’un nombre complexe

Les nombres complexes ont été définis par leur forme algébrique. Mais tout nombre complexe non nul admet une autre forme, dite forme trigonométrique, qui permet de simplifier certains calculs dans ℂ.

Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O ; u→, v→.

I. Module et argument d’un nombre complexe non nul

Soit z=a+ib avec a ; b∈ℝ2 un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe.

Le module du nombre complexe z, noté  z , est le réel  z =a2+b2=OM.

Un argument du nombre complexe z est une mesure, en radians, de l’angle orienté de vecteurs u→ ; OM→. On le note argz et argz=u→ ; OM→=θ à 2π près.

À noter

Si θ est un argument de z, alors θ + 2kπ (k entier relatif) est aussi un argument de z.

Cas particuliers :

argz=0⇔z∈ℝ∗

argz=π2π⇔z est imaginaire pur.

II. Forme trigonométrique et notation exponentielle

Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme :

z=rcosθ+isinθ

où r=z  et θ est un argument de z. C’est la forme trigonométrique de z.

Si z=rcosθ+isinθ où r et θ sont deux réels avec r > 0, alors r=z  et θ est un argument de z.

En notant eiθ=cosθ+isinθ, alors z=rcosθ+isinθ s’écrit :

z=reiθ

C’est la notation exponentielle de z.

À noter

U=eiθ, θ∈ℝ est l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Pour le point Mz du plan complexe : z∈U⇔ M est sur le cercle trigonométrique.

Conseils

Pour trouver la forme trigonométrique de z = a + ib où a et b sont des réels :

Étape 1 On calcule  z =r=a2+b2 (z ≠ 0 donc r ≠ 0).

Étape 2 On factorise l’expression par r : on a z=rar+ibr.

Étape 3 On détermine un réel θ tel que cosθ=ar et sinθ=br.

À noter

z a pour argument −π3∈− π ; π, mais aussi −π3+2π=5π3∈0 ; 2π par exemple.

2) Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

a. z=3cos5π6+isin5π6

b. z′=2eiπ4

Conseils

Si z=reiθ=rcosθ+isinθ avec r > 0, alors la forme algébrique de z est z=a+ib avec a=rcosθ et b=rsinθ.

Solution

a. $z = \sqrt{3} \big(\text{cos} (\frac{5 \pi}{6}) + \text{i}~\text{sin} (\frac{5 \pi}{6})\big)$

$= \sqrt{3} \big( -\frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2}\big)$

= −\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}

b. $z' = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

$= \sqrt{2} \big(\text{cos} (\frac{\pi}{4}) + \text{i}~\text{sin} (\frac{\pi}{4})\big)$

$= \sqrt{2} \big(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= 1 + i$